Расчет прогиба пластины

Опубликовано 26 Мар 2016
Рубрика: Механика | 44 комментария



Тонковато будет!При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется ответа на простые вопросы — на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает...

...по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.

Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух...) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!

Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.

Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.

Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к  рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.

Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.

Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a.

Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w:

жесткие — w<0,25h

гибкие — 0,25h<w<5h

абсолютно гибкие — w>5h

Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.

Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.

Расчет в Excel  прогиба пластины. Пример.

Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.

Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.

Схема пластины -01-47m

Исходные данные:

Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.

1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм2 записываем

в ячейку  D3: 245

Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.



2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм2 заносим

в D4: 210000

3. Коэффициент Пуассона μ вписываем

в D5: 0,28

В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.

4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h, a и b в мм

в ячейку  D6: 5,0

в D7: 500

в D8: 1000

В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.

7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм2 вносим

в D9: 0,016

Расчет прогиба пластины в Excel

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny (xls 90,5KB).

Результаты расчета:

8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем

в ячейке D11: D=(E*h3)/(12*(1- μ2)=2373589

9.,11. Безразмерные коэффициенты k1 и k2, зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k2 зависит еще и от μ, а в таблицах приведены значения только для стали μ≈0,3 и бетона μ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…

Таблица значений коэффициентов -01-47m

Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов

в ячейке D12: при 0,5<a/b<1

k1=0,16747*(a/b)6-0,766*(a/b)5+1,4455*(a/b)4-1,4342*(a/b)3+0,78433*(a/b)2-0,22506*(a/b)+0,029239=0,0254

при 0<a/b<0,5

k1=-0,00012*(a/b)+0,0026=0,0254

Графики коэффициента k1-47m

в D14: при 0,5<a/b<1

k2=0,71922*(a/b)6-3,1489*(a/b)5+5,6353*(a/b)4-5,1372*(a/b)3+2,3658*(a/b)2-0,50294*(a/b)+0,12003=0,0829

при 0<a/b<0,5

k1=-0,0008*(a/b)+0,0833=0,0829

Графики коэффициента k2-47m

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δабс и относительным Δотн погрешностям, так и по величине достоверности R2.

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w=k1*q*a4/D=1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины Mmax возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: Mmax=k2*q*a2=332

13. Наибольшие напряжения в пластине σmax в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм2

в ячейке D16: σmax=6* Mmax/h2=80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов  k1 и k2 также индивидуальны!

Возможно развитие программы для решения других вариантов задач по вашим, уважаемые читатели, индивидуальным запросам.

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

Напишите ваше мнение о статье или возникшие вопросы  в комментариях.


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

44 комментария на «Расчет прогиба пластины»

  1. Николай 26 Мар 2016 23:02

    Здравствуйте, уважаемый, Александр.

    Читая Вас, уже около двух лет, не могу сдержаться. что бы не сказать... Вы лучшее, что есть, в этой «помоЙке интернет».Вы затрагиваете настоящие научные вопросы (теорию устойчивости нам преподавали целый семестр, но я ничего не вынес)...

  2. Александр Воробьев 26 Мар 2016 23:29

    ... незавидное место Вы мне отвели — «лучшее на помойке»... :)

  3. Сергей_Калуга 26 Мар 2016 23:54

    Простите человека, он просто не так сказал то,что хотел произнести.Вы хороший Учитель. Их сейчас мало. Много консультантов, преподавателй, информаторов и т.п.

  4. Александр 27 Мар 2016 00:45

    Добрый вечер, Александр

    Очень хорошая статья. Спасибо!

    У меня вопрос. Возможен ли расчет с ее помощью для круглых пластин? Я не механик, сопромат дается с трудом...

    С уважением.

  5. Александр Воробьев 27 Мар 2016 05:10

    Александр, добрый день. Для круглых пластин k1 и k2 имеют иные (отличные от приведенных в статье) значения. Если нужна помощь, напишите или пришлите Вашу схему, указав: тип нагрузки, материал пластины, способ закрепления контура.

  6. Сергей 27 Мар 2016 06:49

    насчет помойки Вы перегнули

  7. Сергей 27 Мар 2016 07:05

    За время 10 лет чиновничьей деятельности на должностях начальника инспекции в энергонадзоре, начальника отдела в республиканской службе и 10 лет занятий и здесь и там (энергосбережение, строительство, эксплуатация, проектирование и пр.) я сильно оторвался, с самообразованием бывали проблемы + алкоголизм и сопутствующее. Короче! Ваши статьи это плейбой для инженера! Вспоминаем, восстанавливаем, восполняем пробелы, получаем ненужные, но полезные знания. А каков смысл вашей деятельности, ведь альтруизм в наше время только кое где и кое у кого? Вы один или группа граждан? Чем могут помочь подписчики? Можно ли использовать материалы в профессиональных целях и попытках преподавания техминимума в районе, где я единственный инженер-теплоэнергетик

  8. Сергей 27 Мар 2016 07:07

    С уважением Ефимов Сергей Михайлович. Просьба, если это не нарушает Ваших принципов, также представиться

  9. Александр Воробьев 27 Мар 2016 08:23

    Сергей Михайлович, Вы читаете блог Александра Воробьева. Подробнее — на страницах «О блоге» и «О себе» (см. вверху).

    Я — не «группа граждан»; материалы можете использовать со ссылкой на источник; хотите поддержать проект — напишите через страницу «Обратная связь».

  10. Александр 28 Мар 2016 23:36

    Моя задача:

    стальной цилиндр d=160мм, L=500мм.

    Пластина приварена к торцу цилиндра

    Толщина металла 4 мм. метал ст.3 или 08

    Пластин строго говоря две по торцам цилиндра. Это случай с гидроударом в полости цилиндра. Нужно примерно рассчитать давление при котором начнется разрушение. На практике произошло разрушение по сварному шву пластины с ее деформацией.

    Может подскажете или литература по этому вопросу имеется?

    С уважением, Александр

  11. Александр Воробьев 29 Мар 2016 10:13

    Сопротивление срезу Ст3 — 450 Н/мм2

    Толщина пластины — 4 мм

    Диаметр цилиндра — 160 мм

    Площадь давления — 3,14*160^2/4=20106 мм2

    Площадь среза пластины по контуру — 3,14*160*4=2011 мм2

    Сила, срезающая пластину — 450*2011=904779 Н

    Давление, создающее силу — 904779/20106=45 Н/мм2 (450 атм)

    Приблизительно где-то так.

  12. Александр 31 Мар 2016 00:06

    Александр! Спасибо!

    С уважением

  13. Дмитрий 27 Июн 2016 13:24

    Возможно в екселе реализовать метод конечных элементов ?

  14. Александр Воробьев 27 Июн 2016 15:26

    Не делал, но считаю, что возможно. Метод конечных разностей из «одной оперы»...

  15. Дмитрий 27 Июн 2016 23:08

    в основном для расчетов используете программу excel?

    Mathcad используете?

  16. Александр Воробьев 28 Июн 2016 08:31

    Excel закрывает все мои потребности. К Mathcad не обращался уже лет 10.

  17. Максим Пузанов 11 Июл 2016 18:11

    Доброго дня, Александр!

    Очень интересно и позновательно было прочитать эту статью.

    Спасибо Вам!

    P.S.Не могли бы Вы подсказать расчет неупругой деформации пластинки 15.5мм диаметром (52,5мпа, 1мм толщина, закреплена по окружности, титан от4).

    Хотя бы как найти эти к1 и к2.

    С уважением.

  18. Александр Воробьев 11 Июл 2016 19:49

    Максим, поищите ответ в книгах Вайнбергов или Тимошенко. Я «с ходу» не готов ответить по пластическим деформациям.

  19. Максим 22 Сен 2016 15:38

    Здравствуйте, Александр.

    Огромное спасибо за ваш труд!

    Вопрос такой. Если у меня прогиб в 4 раза больше толщины, то уже нужно считать не как жесткую пластинку. Как гибкую пластинку или как мембрану? В чем основная их разница, и нет ли у вас статей на эту тему?

  20. Александр Воробьев 22 Сен 2016 19:46

    Добрый день, Максим.

    Ваш случай относится к классу — гибкие пластины.

    У меня нет статьей об этом классе пластин.

    Могу порекомендовать книгу Тимошенко и Войновского-Кригера «Пластины и оболочки». В ней, по-моему, есть ответ на Вашу задачу.

  21. Алексей 21 Окт 2016 00:20

    Доброго времени суток, Александр.

    Спасибо за вашу статью. Конечно, хотелось бы и про круглую пластину информации. Потому у меня к вам небольшая просьба.

    Мне для изучения образца нужна формула для расчета деформации круглой пластины с жестко закрепленным контуром. Просто формула с обозначением букв. Если Вам не сложно, могли бы вы такую предоставить?

    С Уважением, Алексей.

  22. Александр Воробьев 22 Окт 2016 11:11

    Алексей, добрый день. Для ответа на Ваш вопрос не достаточно информации — не указаны ни тип, ни характер ни области приложения нагрузки.

  23. Алексей 27 Окт 2016 20:07

    Дана круглая стальная пластина свободно опертая по контуру пластины, диаметром 35 мм и толщиной 0,1 мм. Точечная нагрузка направлена в центр.

  24. Александр Воробьев 27 Окт 2016 20:35

    Чуть выше Вы, Алексей, писали, что пластина с жестко закрепленным контуром. Сейчас пишите — свободно опертая... Уточните!

  25. Александр Воробьев 27 Окт 2016 21:10

    Для свободно опертой пластины прогиб в центре:

    w=P*r^2/(16*π*D)*(3+μ)/(1+μ)

    P-сила в центре

    r-радиус пластины

    D-цилиндрическая жесткость пластины

    π-число пи

    μ-коэффициент Пуассона материала пластины

    D=(E*h^3)/(12*(1-μ^2))

    E-модуль упругости материала пластины

    h-толщина пластины

  26. Рита 29 Ноя 2016 05:53

    Александр, Здравствуйте! Ваши статьи очень ценные! Не подскажите где можно найти решение для пластины шарнирно опертой по трем кромкам и со свободной 4-ой и нагруженной на этом крае сосредоточенной силой. В Вайнберге есть решение, но не понятно как оно было получены. И знаете ли Вы аналог Вайнберга (справочник по пластинам) в английской литературе? Заранее благодарна Рита!

  27. Александр Воробьев 29 Ноя 2016 08:07

    Здравствуйте, Рита!

    Тимошенко и Войновский-Кригер «Пластины и оболочки» (эта книга, по-моему, в оригинале на английском).

  28. Дмитрий 28 Дек 2016 05:06

    Добрый день, Александр. Подскажите, пожалуйста, возможно ли рассчитать толщину квадратной пластины, если известны её сторона, материал и давление, оказываемое на неё. Или же вам может, что-нибудь известно о расчёте толщины квадратной трубной доски с квадратным расположением труб в ней. Буду признателен за любые идеи.

  29. Александр Воробьев 28 Дек 2016 08:17

    Дмитрий, здравствуйте.

    Возможно ли рассчитать толщину квадратной пластины, если известны её сторона, материал и давление, оказываемое на неё?

    Именно об этом написано в этой и следующей статьях на этом сайте.

    К исходным данным нужно добавить закрепление (опирание) по контуру, задаться толщиной и, рассчитав максимальные напряжение и прогиб, сравнить с допустимыми значениями.

  30. Сергей 10 Мар 2017 14:28

    Очень хорошая, удобная программа.Мне по роду деятельности приходиться заниматься — так получилось — совершенно разными расчётами(всё же — советский инженер), в т.ч. и не имеющими отношения к моему образованию.И Вы, Александр, здорово помогли этой «считалочкой» быстро провести прикидочные расчёты, позволившие выбрать наиболее оптимальныйвариант конструкции — мы перестраиваем помещение.

    С благодарностью и уважением, Сергей.

  31. Александр Воробьев 10 Мар 2017 22:30

    Спасибо за комментарий, Сергей.

  32. Сергей 13 Мар 2017 15:12

    Было бы здорово, если бы можно было считать сосредоточенную нагрузку на закреплённой пластине. Может, что подскажете на этот случай?

    И, кстати, согласен с утверждением, что иногда надо считать «вручную» — с это началось моё знакомство с Вашим сайтом,в частности, со статьи по расчёту балки(на примере турника).

    С уважением.

  33. Александр Воробьев 13 Мар 2017 18:50

    Сергей, здравствуйте. Для решения Вашей задачи нужно проделать работу похожую на проделанную в статье...

    А можно воспользоваться численным методом, изложенным в этой статье блога.

  34. Сергей 16 Мар 2017 18:37

    Спасибо, попробую воспользоваться статьёй.

  35. Анатолий 10 Апр 2017 18:33

    Добрый день! Спасибо за полезную статью. Не подскажете, как рассчитать минимальную толщину круглых двух пластин из титанового сплава, при которой не будет их прогиба, тоесть обеспечено равномерное сжатие пьезокерамических колец такого же диаметра винтом и гайкой. Имеющиеся пластины толщиной 1.5 мм прогибаются при затягивании гайки и пьезокерамика разрушается. Диаметр пластин и пьезокерамики 26мм, винт М6×35 (примерно сталь 40), гайка М6 (примерно сталь 40), крутящий момент 25 Нм,осевое усилие сжатия примерно 1000—1200 кгс. Спасибо.

  36. Александр Воробьев 10 Апр 2017 19:56

    Анатолий, здравствуйте.

    Какую податливость имеет пьезокерамика? Дело в том, что в этой схеме прогиб будет всегда! Конечно, при толщине пластин 10 мм он может быть размером меньше 1 мкм,но будет.

    Ваша проблема, думается, в другом. Стандартная гайка двигается по винту с перекосом («восьмерит»). Для устранения этого нужно изготовить гайки с биением торцев относительно резьбы меньше 0,05 мм,а для обеспечения передачи усилия равномерно по всей поверхности диаметр опорной поверхности желательно сделать равным 26 мм.

    Расчеты можно попробовать сделать методом конечных элементов, например, в APM FEM KOMPAS. Но для расчета нужны все механические характеристики пьезокерамики.

  37. Иван 01 Июл 2017 09:36

    Добрый день.

    можете сделать программу в ЕХСELе для расчета на прогиб пластины, но пластина с отверстиями

  38. Александр Воробьев 01 Июл 2017 15:01

    Здравствуйте, Иван.

    Вы ничего не сказали о форме пластины, характере закрепления краев, о нагрузке (распределенная, локальная)...

    Посчитать прогиб с отверстиями пластины я, вероятно, смогу, а вот сделать универсальную программу в Excel — скорее нет.

  39. Евгений 27 Июл 2017 10:25

    Добрый день! Помогите рассчитать!!! Плита стальная, размером 820*820 мм и толщиной 190 мм. Распределённая нагрузка в центр диаметром 400 мм. Нагрузка 200 МПа. Плита стоит на 4-х опорах по краям, диаметр опор 200 мм, координаты центров опор от центра плиты х=295 у=295. Плита имеет 4 отверстия, диаметром 115, над опорами и прикручена через эти отверстия к опорам с помощью шпилек и гайек. Как посчитать максимальный прогиб в центре??? Помогите, считаю разными теориями и всё всегда по разному...запутался уже.

  40. Александр 30 Июл 2017 20:19

    Ответ на почте.

  41. Glass Statics 12 Сен 2017 11:17

    Добрый день, Александр.

    Прекрасная статья.

    Будем рады с Вами познакомиться!

    Glass Statics – бесплатное приложение по расчету прочностных характеристик стекла и стеклопакетов. Приложение создано, как инструмент способствующий сокращению времени проведения предварительных расчетов по подбору параметров используемого светопрозрачного заполнения, объединяющее информацию и по другим вопросам связанным с проектированием светопрозрачных конструкций.

    (не коммерческий проект: glassstatics.ucoz.site)

  42. Александр Воробьев 12 Сен 2017 18:50

    Добрый день. Спасибо. Взаимно.

  43. Дмитрий 30 Окт 2017 23:43

    Здравствуйте, уважаемый, Александр.

    Помогите, пожалуйста.

    Планирую изготовить под заказ простейшую приставную стальную лестницу высотой 240см.

    Элементы стальной конструкции Ст3:

    Уголок 40×40х4мм длинна 240см 4шт.

    Лист рифлёный 60×25см толщина «Х»мм 8шт.

    Доступная толщина 3мм 4мм 5мм 6мм 8мм 10мм.

    Каждый из 8-ми горизонтальных листов лестницы будет приварен к 4-ём вертикальным уголкам (4 сварных шва по внутреннему периметру уголков).

    Пожалуйста, помогите узнать минимально допустимую толщину «Х»мм прямоугольного листа лестницы, при максимальном весе в центре листа 200кг.

    При 200кг какой прогиб (мм) будет в центре пластины толщиной:

    3мм?

    4мм?

    5мм?

    6мм?

    8мм?

    10мм?

    Заранее благодарю Вас за ответ и помощь,

    с уважением, Дмитрий.

  44. Александр Воробьев 31 Окт 2017 18:43

    Дмитрий, здравствуйте.

    Странная немного лестница... Вообще-то требования к проектированию лестниц изложены в СнИПах и их желательно выполнять.

    По Вашему вопросу. Лист-ступенька в описанном Вами случае — это балка с защемленными краями и нагрузкой в виде силы по центру. Сечение балки — прямоугольник с высотой S и шириной 250 мм. Длина балки — 600 мм.

    Расчет, например, здесь, или в справочнике Анурьева в начале первого тома все нужные Вам формулы (таблицы с формулами, эскизами и схемами).

    Если будут затруднения — пишите.

    ...Лучше под листы пустите перемычки из уголка по периметру. Тогда толщины листа 3 мм хватит с запасом и конструкция будет легче.

Ваш отзыв







  • Подписчики: 4,9 тыс.

  • Посетители: 0,9 млн