Ускорение и сила Кориолиса – что это?

Из этой статьи вы не узнаете ничего нового о крутых правых берегах рек северного полушария, о направлениях вращения атмосферных циклонов и антициклонов, о пассатах и о закручивании воды в сливном отверстии ванны или раковины. Эта статья расскажет вам об...

...истоках понятий «ускорение Кориолиса» и «сила Кориолиса».

Прежде чем начать отвечать на вопрос заголовка статьи я хочу напомнить несколько определений. Для упрощения понимания при изучении сложных движений тел в теоретической механике были введены понятия относительного движения и переносного, а так же присущих им скоростей и ускорений.

Относительное движение характеризуется относительной траекторией, относительной скоростью v_отн и относительным ускорением a_отн и представляет собой движение материальной точки относительно подвижной системы координат.

Переносное движение, характеризующееся переносной траекторией, переносной скоростью v_пер и переносным ускорением a_пер, представляет собой движение подвижной системы координат вместе со всеми жестко связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной (абсолютной) системе координат.

Абсолютное движение, характеризующееся абсолютной траекторией, абсолютной скоростью v и абсолютным ускорением a, это — движение точки относительно неподвижной системы координат.

Далее в тексте статьи для отличия векторных величин от абсолютных значений приняты следующие обозначения:

a^—  — вектор

a  — абсолютное значение (модуль)

Приношу извинения за отступление от использования общепринятых символов в обозначении векторов.

Основные формулы сложного движения материальной точки в векторной форме:

v^— = v_отн^— + v_пер^—

a^— = a_отн^— + a_пер^— + a_кор^—

Если со скоростью все понятно и логично, то с ускорением все не так очевидно. Что это за третий вектор a_кор^—? Откуда он взялся? Именно ему – третьему слагаемому векторного уравнения ускорения материальной точки при сложном движении – ускорению Кориолиса — и посвящена эта статья.

Если относительное ускорение является параметром изменения относительной скорости в относительном движении материальной точки, переносное ускорение – параметром изменения переносной скорости в переносном движении, то ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении. Непонятно? Разберемся, как обычно, на примере!

Как возникает ускорение Кориолиса

1. На рисунке, расположенном ниже, изображен механизм, состоящий из кулисы, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω_пер вокруг точки O и ползун, перемещающийся по кулисе с постоянной линейной скоростью v_отн. Следовательно, угловое ускорение кулисы и связанной с ней подвижной системы координат (ось x) ε_пер равно нулю. Так же равно нулю и линейное ускорение точки C ползуна  a_отн относительно кулисы (подвижной системы координат – оси х).

ω_пер = const     ε_пер = 0

v_отн = const       a_отн = 0

2. Как можно догадаться по аббревиатурам – относительное движение в нашем примере – это прямолинейное движение ползуна — точки C — по кулисе, а переносное движение – это вращение ползуна вместе кулисой вокруг центра – точки О. Ось x₀ – ось неподвижной системы координат.

3. То, что ускорения ε_пер = 0 и a_отн = 0 выбрано в примере не случайно. Это облегчит и упростит восприятие и понимание сути и природы возникновения кориолисова ускорения и рождаемой этим ускорением – силы Кориолиса.

4. При переносном движении (вращении кулисы) вектор относительной линейной скорости v_отн1^— повернется за малый промежуток времени dt на весьма незначительный угол dφ и получит при этом приращение (изменение)  в виде вектора dv_отн^—_.

dφ = ω_пер * dt

dv_отн^— = v_отн2^— —  v_отн1^—

dv_отн = v_отн * dφ = v_отн * ω_пер * dt

5. Вектор относительной скорости точки C v_отн2^— в положении №2 сохранил свой размер и направление относительно подвижной системы координат – оси x. Но в абсолютном пространстве этот вектор повернулся за счет переносного движения на угол dφ и переместился за счет относительного движения на расстояние dS!

6. При стремящемся к нулю угле поворота dφ вектор изменения относительной скорости dv_отн^— будет перпендикулярен вектору относительной скорости v_отн2^—.

7. Изменение скорости может быть вызвано только наличием ненулевого ускорения, которое и приобретет точка С. Направление вектора этого ускорения a₁^— совпадает  с направлением вектора изменения относительной скорости dv_отн^—.

a₁ = dv_отн / dt = v_отн * ω_пер

8. При относительном движении (прямолинейном перемещении точки C ползуна по кулисе) вектор переносной линейной скорости v_пер^— за незначительный промежуток времени dt переместится на расстояние dS и получит приращение (изменение) — вектор dv_пер^—_.

dS = v_отн * dt

dv_пер^— = v_пер2^— —  v_пер1^— —  dv^ц_пер^—

dv_пер = ω_пер * dS = ω_пер * v_отн * dt

9. Вектор переносной скорости точки C v_пер2^— в положении №2 увеличил свой размер и сохранил направление относительно подвижной системы координат – оси x. В неподвижной системе координат (ось x₀) этот вектор повернулся за счет переносного движения на угол dφ и переместился на расстояние dS благодаря переносному движению!

10. По аналогии с относительной скоростью дополнительное изменение переносной скорости может быть вызвано только наличием ненулевого ускорения, которое приобретет точка С в этом движении. Направление вектора этого ускорения a₂^— совпадает  с направлением вектора изменения переносной скорости dv_пер^—.

a₂ = dv_пер / dt = ω_пер * v_отн

11. Появление вектора изменения переносной скорости dv^ц_пер^— вызвано переносным движением (вращением)! На точку C действует переносное ускорение a_пер – в нашем случае центростремительное, вектор которого направлен к центру вращения точке O.

a_пер2 = ω_пер² * S₂

В нашем примере это ускорение действует и в начальный момент времени (в положении №1), его значение равно:

a_пер1 = ω_пер² * S₁

12. Векторы a₁^— и a₂^— имеют одинаковое направление! На рисунке это визуально не совсем так по причине невозможности начертить понятную схему при близком к нулю угле поворота dφ. Чтобы найти полное добавочное ускорение точки C, которое она получила из-за изменения вектора относительной скорости v_отн1^— в переносном движении и вектора переносной скорости v_пер1^— в относительном движении необходимо сложить векторы a₁^— и a₂^—. Это и есть ускорение Кориолиса точки C.

a_кор^— = a₁^— + a₂^—

a_кор = a₁ + a₂ = 2 * ω_пер * v_отн

13. Основные зависимости скорости и ускорения точки C в неподвижной системе координат в векторной и абсолютной формах для нашего примера выглядят так:

v^— = v_отн^— + v_пер^—

v = (v_отн² + ω_пер² * S²)^0,5

a^—  = a_пер^— + a_кор^—

a = (ω_пер⁴ * S² + a_кор²)^0,5 = (ω_пер⁴ * S² + 4 * ω_пер² * v_отн²)^0,5

Итоги и выводы

Ускорение Кориолиса возникает при сложном движении точки только при одновременном выполнении трех независимых условий:

1. Переносное движение должно быть вращательным. То есть угловая скорость переносного движения должна быть не равна нулю.

2. Направление относительного движения не должно быть параллельно оси переносного вращения.

3. Относительное движение должно быть поступательным. То есть линейная скорость относительного движения не должна быть равна нулю.

Для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо повернуть вектор линейной относительной скорости на 90° в сторону переносного вращения.

Если точка обладает массой, то согласно второму закону Ньютона кориолисово ускорение  совместно с массой создадут силу инерции, направленную в сторону противоположную вектору ускорения. Это и есть сила Кориолиса!

Именно сила Кориолиса, действуя на некотором плече, создает момент, который называется гироскопическим моментом!

О гироскопических явлениях можно прочитать в целом ряде других статей этого блога.

В этой статье мне, как всегда, хотелось кратко и доходчиво рассказать о весьма непростых понятиях – об ускорении и силе Кориолиса. Удалось это или нет с интересом прочту в Ваших комментариях, уважаемые читатели!

Другие статьи автора блога

На главную