Китайский волчок: теория переворота!

Опубликовано 10 Фев 2014
Рубрика: Механика | Комментариев нет



Китайский волчок на фоне флага КНРРассказать о китайском волчке меня подтолкнуло широко распространенное в Интернете мнение, что теоретического объяснения «странному» перевороту на 180° вращающегося с большой угловой скоростью волчка нет, а существующие чрезвычайно сложные теории не дают...

...однозначного ответа. Считаю, что, отчасти, это мнение – миф, и попытаюсь его слегка развеять.

Китайский волчок, он же волчок Томсона, он же волчок «тип-топ» представляет собой шарик со срезанным шаровым сегментом высотой около или чуть больше половины радиуса сферы. К плоскости среза присоединена цилиндрическая ручка, которая выступает за сферическую поверхность шарика. При сообщении китайскому волчку вращательного импульса (кинетического момента) вокруг оси, проходящей через центр шарика и совпадающей с осью цилиндрической ручки, направленной вначале вертикально вверх, он, достаточно быстро приподнимаясь, переворачивается на 180°, приподнимается на торец ручки и в этом положении, опираясь на свою шейку, направленную теперь вертикально вниз, продолжает устойчивое вращение. Это вращение на торце ручки длится до момента, пока сила трения не «победит» кинетический момент, и кинетическая энергия не перейдет в тепловую энергию. В этом состоит суть явления.

Посмотрите видео с китайским волчком, их на «You Tube» много. Например: https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v =bp2yKEjA8V4

Попробуем разобраться — как происходит переворот волчка, какая «магическая сила» заставляет китайский волчок перевернуться, подняв вверх свой центр тяжести и продолжать вращение в, казалось бы, очень неустойчивом положении.

Общие исходные сведения

1. Неподвижная система координат Ox0y0z0 изображена на рисунках лиловым цветом. Центром этой прямоугольной системы координат является точка O, являющаяся геометрическим центром шарика (центром кривизны сферической наружной поверхности).

2. Подвижная система координат Oxyz показана на рисунках синим цветом. Оси этой системы  участвуют во всех движениях волчка. Чтобы было понятнее, можно сказать, что оси x, y, z – это спицы, проткнувшие твердое тело волчка. Ось z всегда жестко связана (совпадает) с прямой, проведенной через точки O и C. Точка C – это центр тяжести волчка, который в начальный момент расположен ниже центра кривизны опорной поверхности точки O. Ось y всегда находится в плоскости действия векторов внешних сил – силы тяжести G, силы инерции F и  силы реакции опоры P.

3. Вектора сил и направления моментов показаны на рисунках зеленым цветом. Цветом близким к фиолетовому на рисунках выделены направления и вектора угловых скоростей ωi, а коричневым цветом – вектора кинетических моментов Hi=ωi*Ii. (Ii -вращательный момент инерции волчка вокруг i-ой оси.)

4. Волчок имеет массу и вес G=m*g, где g – ускорение свободного падения.

Китайский волчок в процессе переворота

1. Волчок в состоянии покоя находится в устойчивом положении, касаясь опорной поверхности точкой К1. Если приглядеться к нему внимательней, то мы узнаем знакомую с детства игрушку «ванька-встанька» (рис.1).

Китайский волчок - первое и второе положения

2. Запустим волчок, придав ему вращение вокруг оси z против часовой стрелки, если смотреть сверху.

3. Китайский волчок вращается не на острой ножке, как обычный классический волчок, а на шаровой поверхности с радиусом R. Поэтому из-за малейшего отклонения оси z от вертикали z0 волчок, вращающийся вокруг оси z с угловой скоростью ωотнсразу же начинает осью своей симметрии z описывать вокруг вертикали z0 конус с незначительным углом α и вершиной в центре радиуса кривизны опорной поверхности шарика точке О (рис.2).

4. Запустить волчок без отклонения невозможно, минимальное (микронное) отклонение будет на практике всегда из-за трения в точке (точнее – пятне) К1, из-за трения об воздух, из-за неоднородности материала волчка и – как следствие — небольшого смещения центра масс C от геометрической оси симметрии z.

5. При возникновении даже малого угла рассогласования α центр тяжести волчка C тут же сместится относительно вертикали z0 на расстояние r.

6. Это смещение мгновенно вызовет возникновение центробежной силы инерции F

F=m*a=m*r*ω02,

которая, как понятно из формулы, прямо пропорциональна массе волчка m, расстоянию смещения r центра масс точки C от вертикали z0 и квадрату абсолютной угловой скорости ω0 вокруг оси z0 , которую получил волчок при придании ему вращения.

7. Возникшая сила F и вес волчка G создают момент внешних сил M

M=F*pG*r, (M>0)

который стремится повернуть волчок вокруг оси x (точки О) по часовой стрелке, если смотреть спереди.



8. Появление момента внешних сил рождает гироскопический эффект и прецессию!!! Китайский волчок начинает прецессировать! Гироскопический момент Mг пытается, противодействуя моменту внешних сил M, уравновесить его. Волчок по закону прецессии поворачивается вокруг оси y, пытаясь совместить вектор своего относительно оси z кинетического момента Hотн с вектором момента внешних сил M по самому короткому пути (то есть – вокруг оси y) (рис.2а).

Hотн=Iz*ωотн=m*r2отн

Mг=Hотн*ωпер=M

Причины, вызывающие гироскопический эффект, и правила, лежащие в основе этого явления подробно описаны здесь.

Китайский волчок - второе (аксонометрия) и третье положения

9. Скорость прецессии (скорость поворота волчка вокруг оси y) ωпер вычисляется по формуле:

ωпер=M/Hотн=m*r*(ω02*pg)/(m*r2отн)

ωпер=(ω02*pg)/ rотн

10. Если пренебречь трением в точке касания шариком поверхности и сопротивлением воздуха, то можно принять, что момент количества движения H0 вокруг вертикальной и неподвижной оси z0, полученный волчком при запуске, будет оставаться постоянным:

H0=I0*ω0=const

11. В связи с вышесказанным модули угловых скоростей ωотн и ωпер относительного и переносного движений будут определяться в процессе поворота, как катеты прямоугольного треугольника, подчиняясь теореме Пифагора:

 I0*ω0=((Iy*ωпер)2+(Iz* ωотн)2)0,5=const

12. Следовательно, при увеличении наклона оси z от вертикального положения переносная угловая скорость ωпер (скорость прецессии) будет расти, а относительная угловая скорость вращения ωотн будет падать!

13. Рост угловой скорости прецессии ωпер означает, что поворот волчка вокруг оси y будет непрерывно ускоряться, и  в итоге прецессия довольно быстро «завалит» волчок в положение, когда ручка и связанная с ней ось z окажутся в горизонтальной плоскости (рис.3)!

14. В этот момент произойдет удивительная и в то же время закономерная метаморфоза! Китайский волчок прекратит на миг свое вращение вокруг оси z, он остановится!!! При этом он будет продолжать вращение со скоростью ω0 вокруг оси y, которая совместится с неподвижной вертикальной осью z0! На языке формул это выглядит так:

ω0пер

ωотн=0

15. Длиться эта остановка будет долю мгновения. По аналогии с начальным моментом волчок, вращаясь вокруг оси z0, начнет образовывать конус с очень малым углом α при вершине точке О вследствие шарообразности опорной поверхности (рис.4). Прецессия (поворот вокруг оси y) продолжится.

Китайский волчок - четвертое положение (в т. ч. аксонометрия)

16. Момент внешних сил M изменит направление своего действия и сила инерции F «возьмет в союзники» силу тяжести G для «совместной борьбы» с гироскопическим моментом Mг.

M=F*p+G*r

17. Гироскопический момент Mг изменит свое направление в ответ на изменение направления момента внешних сил M. Китайский волчок начнет вращение вокруг оси z в направлении противоположном своему начальному вращению!!!

18. Пока описанные выше моменты противодействуют друг другу, прецессия и сила трения качения сферической поверхности волчка по опорной плоскости продолжат «провоцирование опрокидывания» до момента совмещения оси z с отрицательным направлением оси z0 (рис.5).

Китайский волчок - пятое и шестое положения

19. Заняв вертикальное положение ручкой вниз, китайский волчок будет находиться в устойчивом положении и продолжит вращение до момента «исчерпания» кинетического момента H(рис.6).

20. Из-за того, что китайский волчок в отличие от классического, перекатываясь при вращении, постоянно меняет точку опоры, конец его ручки повторяет траекторию перемещения точки опоры. В период переворота эта траектория — не конус классического волчка! Если на опорную поверхность насыпать тонкий слой муки (или пудры, или талька) и запустить волчок, то после окончания вращения на поверхности шарика можно увидеть спиралевидный след (Рис.7).

Китайский волчок - спиралевидная траектория точки опоры на поверхности шарика

Это и есть траектория перемещения точки опоры по поверхности шарика. Спиралевидный след вначале раскручивается в одну сторону (по часовой стрелке на рисунке), затем закручивается в обратную сторону.

Толкование явления профессором Смородинским

Вы поняли, что же заставляет подниматься при вращении вверх центр тяжести тела китайского волчка? Почему устойчивым для вращающегося волчка является положение с максимально поднятым центром тяжести? Быстро разобраться и понять довольно сложно…

Из существующих вариантов объяснения поведения китайского волчка мне нравится своей доходчивостью и очевидностью подход, рассказанный профессором Смородинским. Ознакомимся с ним.

1. Рассмотрим классический волчок. Сила тяжести создает опрокидывающий момент М, а гироскопический момент Мг – удерживающий (Рис.8).

Подъем своих центров тяжести классическим и китайским волчками

2. Примем без доказательства – как очевидный факт, что классический волчок (юла), вращаясь с большой скоростью, не падает и находится в устойчивом состоянии.

Подробно о поведении классического волчка прочитайте в этой статье.

3. Попробуем доказать, что если увеличить скорость прецессии (скорость переносного вращения оси  волчка) ωпер, то центр масс волчка поднимется вверх.

4. Доказательство будем вести от обратного. Предположим, что центр масс точка С опустится при увеличении скорости прецессии ωпер.

5. Но согласно рисунку тогда увеличится опрокидывающий момент М=G*r за счет увеличения плеча r силы тяжести G, а это неизбежно приведет к увеличению скорости прецессии ωпер, так как должно выполняться условие M=Mг=Hотнпер. При этом кинетический момент Hотн может только немного уменьшаться в процессе вращения из-за действия сил трения.

6. Тогда согласно нашему предположению центр тяжести С  должен еще сильнее опуститься, и в итоге классический волчок должен очень быстро упасть! Однако мы знаем, что этого не происходит, следовательно, сделанное предположение неверно! Центр масс С классического волчка не опускается, а поднимается  с возрастанием скорости прецессии!!!

7. Запускаем китайский волчок, который при вращении (как мы неоднократно отмечали ранее) в отличие от классического волчка касается поверхности не одной точкой, а все время разными, перекатываясь в процессе движения по спирали на сферической поверхности основания волчка.

8. Так как в процессе переворота на волчок действует возрастающий опрокидывающий момент при постоянно уменьшающемся кинетическом моменте Hотн (вначале до нуля в положительной области, затем, сменив направление, уменьшается в отрицательной области), то и скорость прецессии ωпер  непрерывно возрастает!

9. Рост скорости прецессии ωпер вызывает подъем центра тяжести С.

10. Переворачиваясь на бок и опираясь на ручку, китайский волчок поднимает все выше и выше свой центр тяжести точку С. В перевернутом состоянии он продолжает устойчиво вращаться и ведет себя как классический волчок.

11. Осуществлению возможности переворота (перехода из неустойчивого состояния при вращении в устойчивое) способствует сферическая форма основания волчка.

Опытами более ста лет назад доказано, что вращающийся с очень большой скоростью волчок уменьшает свой вес!!! Какую частоту вращения необходимо задать, чтобы вес стал равным нулю или максимально приблизился к этому значению? Каким должен при этом быть материал диска волчка, чтобы его не разорвали силы инерции? Гравитация не торопится раскрывать все свои законы и секреты человеку! Самые интересные открытия ждут нас еще впереди, мы к ним подошли очень близко…  Не случайно большинство работ ведущих специалистов в этой области являются закрытыми.

Подписывайтесь на анонсы статей в окнах, расположенных в конце каждой статьи или вверху каждой страницы, и не забывайте подтверждать подписку.

Подтвердить подписку необходимо кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»)!!!

Оставляйте комментарии, уважаемые коллеги! Они всегда интересны и автору и новым читателям.

Другие статьи автора блога

На главную


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Ваш отзыв







  • Посетители: 656 202

  • Подписчики: 3 414