Как построить точный профиль зуба?
Опубликовано 23 Сен 2015
Рубрика: Механика | 59 комментариев
При вращении шестерни и находящегося в зацеплении с ней зубчатого колеса происходит неприметная глазу удивительная вещь. При контакте боковых поверхностей зуба шестерни и зуба колеса почти отсутствует скольжение! Профиль зуба шестерни катится...
...с небольшой пробуксовкой по профилю зуба колеса!
Почему и как такое возможно? Потому, что рабочие поверхности зубьев представляют собой боковые поверхности эвольвентных цилиндров. Торец колеса (точнее — части зуба) является основанием этого цилиндра. Пересечение торцевой плоскости и вышеуказанного цилиндра – это кривая, именуемая эвольвентой.
Современная наука считает «отцом эволют и эвольвент» гениального голландского ученого Христиана Гюйгенса. Теорию этих кривых Гюйгенс открыл (или создал) в 1654 году.
Когда тебе 17 лет, то 1654 год кажется невероятно далеким. Но сегодня, когда мне гораздо больше лет, я понимаю, что моя бабушка 1892 года рождения видела и слышала в своем детстве стариков – современников Пушкина, и даже, возможно, Наполеона — и вот от начала 21-ого века до первой половины 19-ого уже «рукой подать». Глаза близкого мне человека, в которые я смотрел много раз, видели людей, живших в первой половине 19-ого века. Невероятно! А там, еще столько же и — времена Гюйгенса…
Минимизация скольжения в зубчатом зацеплении обеспечивает очень высокий КПД передачи и существенно уменьшенный износ профилей зубьев потому, что коэффициент трения качения как минимум на порядок меньше коэффициента трения скольжения.
Как построить просто эвольвенту окружности знают все инженеры и математики. Как построить профиль зуба с эвольвентой и переходной кривой, судя по форумам Интернета, знают единицы.
Кому и зачем это нужно?
Во-первых, студентам машиностроительных специальностей для выполнения курсовых работ по теории механизмов и машин.
Во-вторых, конструкторам приводов и режущих инструментов.
В-третьих, изготовителям зубчатых колес на плазморежущих, электроэрозионных и лазерных станках.
Именно третьей группе, я надеюсь, будет особенно полезен представленный далее алгоритм.
Расчет в Excel координат точек профиля зуба.
Для выполнения громоздких и достаточно сложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить этот расчет можно и в программе Calc из бесплатных офисных пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.
Представленный далее алгоритм расчета адаптирован для колес с наружными зубьями. Для колес с внутренними зубьями его можно применить после незначительных поправок.
Для косозубых колес профиль строится для торцевого сечения.
Исходные данные:
Профиль зуба будем «нарезать» реечным инструментом – гребенкой или червячной фрезой. Параметры и коэффициенты исходного контура возьмем по ГОСТ13755-81. Посмотреть на чертеж исходной рейки и понять, что это такое можно здесь.
Первые четыре параметра в ячейках D3-D6 характеризуют исходный контур.
Следующие пять исходных данных в ячейках D7-D11 являются «паспортом» зубчатого колеса, представляя о нем исчерпывающую информацию.
Алгоритм расчетов:
Результаты расчетов угла профиля и всех диаметров получены по следующим формулам:
10. αt=arctg (tg (α)/cos (β))
11. dа=d+2*m*(ha*+x— Δy)
12. d=m*z/cos (β)
13. db=d*cos (αt)
14. df=dа-2*m*(2*ha*+c*— Δy)
Часть профиля зуба – это эвольвента основной окружности диаметром db. Таким образом, эвольвента может существовать в зубчатом колесе от диаметра основной окружности до диаметра вершин зубьев!
Вторая часть профиля зуба – переходная кривая от эвольвенты до диаметра впадин.
Я выбрал количество точек n каждой из кривых для своего примера равное 100, посчитав его достаточным для требующейся точности построения. Если вы захотите его изменить, то вам нужно будет соответственно расширить или сузить таблицу «Координаты точек профиля зуба», которая сдержит 100 строк (imax=n).
Результаты вспомогательных констант определены по формулам:
16. D=2*m*((z/(2*cos (β)) — (1-x))2+((1-x)/tg (αt))2)0,5
17. hdy=(da-db)/(n-1)
18. hγ=γ1/(n-1)
19. hda=2*Xэ1/(n-1)
20. C=(π/2+2*x*tg (α))/z+tg (αt) — αt
21. y0=1- (ρf*)*sin (αt) -x
22. x0=π/(4*cos (β))+(ρf*)*cos (αt)+tg (αt)
Подготовка завершена, можно выполнить расчет в Excel промежуточных данных и непосредственно координат точек профиля зуба.
Значения в таблице рассчитаны по формулам:
dy1=da
dy (i+1)=dyi-hdy
dy (n)=db
Di=arccos (db/dyi) -tg (arccos (db/dyi))+C
γ1=π/2- αt
γ (i+1)=γ i-hγ
Ai=z/(2*cos(β)) - y0— (ρf*)*cos (γ i)
Bi=y0*tg(γ i))+(ρf*)*sin (γ i)
φi=(2*cos(β)/z)*(x0+y0*tg (γ i))
Yэi=(dyi/2)*cos (Di)
Xэi=Yэi*tg (Di)
Yпкi=(Ai*cos (φi)+Bi*sin (φi))*m
Xпкi=(Ai*sin (φi) -Bi*cos (φi))*m
Xda1=-Xэ1
Xda (i+1)=Xdai+hda
Ydai=((dа/2)2— Xdai2)0,5
После того, как расчет в Excel выполнен, запускаем мастера диаграмм и строим точечные графики по полученным координатам. О том, как это делается подробно описано тут.
На скриншоте выше синим цветом показан наружный диаметр, темно-синим изображены эвольвенты, лиловым – переходные кривые.
Оси X и Y пересекаются в центре колеса — это точка начала координат.
Excel построил профиль зуба! Задача решена.
Изменяя исходные данные можно мгновенно оценить визуально изменения профиля зуба и увидеть подрезку ножки или заострение вершины при применении смещения контура.
Итоги.
Для того чтобы начертить полный реальный контур зубчатого колеса следует взять координаты точек профиля одного зуба и в любой доступной CAD-программе по этим точкам построить сплайн. Затем нужно размножить его по окружности на количество зубьев, достроить диаметр впадин и получить DXF-чертеж. Имея чертеж, легко написать управляющую программу для станка с ЧПУ и изготовить деталь.
Многие CAD-программы могут выдать чертеж контура зубчатого колеса и без описанных действий, но контур, к сожалению, в большинстве случаев не будет реальным!
Есть интересная программа Gear Template Generator, которая генерирует DXF-файлы контуров зубчатых колес (http://woodgears.ca/gear/index.html). Однако исходные данные для построений какие-то нетрадиционные… да и впадины зубьев — без радиального зазора.
Хочу отметить, что предлагаемый к скачиванию файл Excel с расчетами профиля зуба в данном случае не является полноценной программой и требует от пользователя при работе основополагающих знаний MS Excel и понимания геометрии задачи.
В частности, меняя исходные данные, придется вручную подстраивать шкалы осей и следить за тем, чтобы масштаб по оси X был равен масштабу по оси Y (сетка линий должна образовывать квадратики, а не прямоугольники). Точку сопряжения эвольвенты и переходной кривой при переносе координат в CAD-программу придется корректировать вручную, обрезая ненужные части кривых.
Представленный алгоритм был написан (страшно подумать) в 1992 году для программируемого калькулятора и предназначался для вычерчивания на кульмане чертежей контрольных экранов для оптико-шлифовальных станков.
Ссылка на скачивание файла с расчетами: profil-zuba (xls 107KB).
На блоге есть несколько статей, посвященных зубчатым (и не только) передачам. Найти их проще всего перейдя на страницу «Все статьи блога» по ссылке, расположенной ниже:
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
59 комментариев на «Как построить точный профиль зуба?»
Ваш отзыв
Посетители: 2,1 млн
Обьясните, что имеется ввиду под понятием «эвольвентные цилиндры».
Цилиндр, в основании которого окружность — круговой цилиндр.
Цилиндр, в основании которого эллипс — эллиптический цилиндр.
Цилиндр, в основании которого парабола — параболический цилиндр.
Цилиндр, в основании которого эвольвента — эвольвентный цилиндр.
Рабочие поверхности зубьев прямозубого колеса — это боковые поверхности эвольвентных цилиндров.
Покопался в своих архивах и наткнулся на прекрасную программу ZubEx3.0.4 (ampsoftware.narod.ru/zubex.htm) Плущевского Алексея Михайловича.
Программа строит контуры эвольвентных зубчатых колёс внешнего/внутреннего зацепления и эвольвентных шлицевых соединений в формате DXF.
Программа бесплатная, и последняя версия не требует установки (файл .exe)!
Насколько велики отклонения профиля зубьев, вызванные деформацией от нагрузки на колеса. Хотя бы порядок, миллиметр или больше? Уверен, что заключительная операция обработки – прикатывание – по определению выполнит это самое отклонение.
Порядок зависит от размеров зуба и может быть от долей микрометра до долей миллиметра.
Есть ли где формулы в привычном понимании, которые приводятся в учебниках? Можно ссылку?
«Формулы в привычном понимании» — это как? В привычном написании, может быть? К сожалению, ссылки нет. Переписал эти формулы 30 лет назад из руководства по проектированию контрольных экранов.
Вот в чем, а в Exel не рублю, потому частенько читаю ваши посты. Спасибо! Не раз выручало.
(ермолинский.рф)
«Формулы в привычном понимании» можно посмотреть в ОСТ 1 00258-77
Здравствуйте!
Александр, подскажите
изменяется ли расчет профиля эвольвентного зуба при учете смещения (радиального) исходного контура.
Влияет ли смещение на эвольвенту или только на переходную кривую?
Спасибо!
Владимир, добрый день.
Если Вы внимательней посмотрите на на исходные данные для расчета профиля, то увидите в их составе коэффициент смещения исходного контура. Раз он там есть, и пользователь может его изменять, то очевидно, что он влияет на координаты точек профиля.
При смещении изменяются и эвольвента и переходная кривая.
Здравствуйте!
Есть ли где информация, почему угол основного профиля равен 20°? Чем это обусловлено и можно ли брать методику расчетов геометрии, если нужен другой угол профиля.
Добрый день!
Угол профиля исходного контура шлицевых эвольвентных соединений — 30°.
Почему у передач именно 20° — не скажу. Для чего стандартизировали весь комплекс исходных данных: модуль, угол, коэффициенты высоты головки и ножки зуба, радиального зазора, думаю понятно — для сокращения номенклатуры режущего инструмента.
Если Вам нужен другой угол профиля, то Вы должны знать почему Вас не устраивают стандартные 20° :-)
Методику можно использовать для иных углов. Иначе зачем мне в исходных данных этот параметр?..
20° — оптимальный, самый распространенный угол.
Иногда, очень редко, попадаются колёса с углом зацепления 15°. Когда, очень давно, я был зуборезчик, в глубине шкафчика таились несколько фрез и долбяков пятнадцатиградусных.
Угол зацепления и угол профиля инструмента — это совершенно разные вещи! Ваш 15-градусный инструмент — это скорее всего 30-градусный — для шлицов.
Здравствуйте Александр!
Можно ли найти формулы расчета впадины эвольвентного зубчатого колеса как функцию Y от Х? Ось Х должна проходить по оси впадины.
Анатолий, здравствуйте!
Формулы кривой впадины зуба — это формулы переходной кривой. Они представлены в статье. На графике в Excel — это фиолетовая линия. Уравнение задано в параметрическом виде. Повернуть оси на 90 градусов, поместить ось X в центр впадины, перейти в форму Y=f (X) можно, но очень сложно (громоздко). Аналитическая геометрия Вам в помощь...
Александр, добрый день!
Подскажите, пожалуйста, — как измерить угол профиля (20 или 30 гр на чертеже, выполненном в Компасе.
Спасибо!
Здравствуйте, Артем.
1. Строите контур зубчатого колеса.
2. Проводите окружность делительного диаметра.
3. Строите касательную прямую к кривой профиля в точке пересечения делительной окружности и профиля.
4. Проводите из центра колеса прямую через точку пересечения делительной окружности и профиля.
5. Искомый угол — это угол между касательной и этой прямой.
При условии, что колесо без смещения получите 20°.
Спасибо за Вам за алгоритм.
Использовал его в своей программе.
Правда, не вникал в суть формул. Для меня сложно.
При подрезке зуба происходит отрыв верхней точки переходной кривой от нижней точки эвольвенты, т.е. точки не совпадают.
Особенно заметно при малом числе зубьев.
Не просветите, почему так получается?
Так получается потому, что эвольвента и переходная кривая существуют в пространстве не только на поверхности зуба. Контур зуба — это пересечение 4-х кривых: диаметра вершин, эвольвенты, переходной кривой и диаметра впадин.
В конце статьи на этот момент обращено внимание: «Точку сопряжения эвольвенты и переходной кривой при переносе координат в CAD-программу придется корректировать вручную, обрезая ненужные части кривых.»
Спасибо за подсказку. При построении прослеживается аналогия с блокирующими контурами, но там все линии пересекаются. В данном же случае мы видим, что переходная кривая строится с точками, выходящими за контур подрезанного зуба и, если мысленно продлить эвольвенту, то кривые пересекутся.
Понятно, что кусок переходной кривой вне области зуба отрежется.
Отсюда возникает вопрос: как продлить эвольвенту до пересечения с переходной кривой? Воспользоваться задачей школьного курса о нахождении точки пересечения двух функций?
Эвольвента начинается от диаметра основной окружности, ниже — к центру колеса — её нет...
Решить систему уравнений из двух функций вряд ли будет просто, учитывая то, что они заданы параметрически.
Этот вопрос требует детальной проработки всех геометрических зависимостей (нужно вникнуть в суть формул).
ОСТ 1 00258-77 устанавливает расчет геометрических параметров для колес с зубьями без поднутрения. Поэтому, скорее всего, данные формулы не дают замкнутого контура подрезанного зуба.
Поднутрения, а правильнее — подрезка ножки зуба — это вообще-то недопустимая вещь, которую следует избегать при проектировании так же, как и заострения вершин зубьев, варьируя значение коэффициента смещения исходного контура.
Что такое коэффициент радиуса кривизны переходной кривой? Откуда взяты данные для него? Откуда формулы для расчета переходной кривой?
Коэффициент радиуса кривизны переходной кривой — из ГОСТ 13755-81 (Читайте: «Исходные данные» 1 и 2 абзацы).
Откуда формулы — читайте комментарии...
Ваше утверждение что в зацеплении нет скольжения неверно. Там происходит обкат с скольжением. Скольжение можно только выровнять на шестерне и колесе при помощи коэф. Смещения
Да, Вы, Игорь, правы — мое утверждение неверно. Изменил текст.
Александр, здравствуйте. Подскажите пожалуйста, в алгоритме построения профиля зуба для косозубого зубчатого колеса модуль зацепления — это торцевой или нормальный модуль?
Нормальный.
Александр, здравствуйте. Использовал ваш алгоритм построения профиля зуба для построения 3D модели косозубого колеса в SolidWorks.
Если строить профиль в торцовом сечении, то длина общей нормали далека от теоретической, а если в нормальном сечении, то практически совпадает.
Для косозубых колес профиль строится для торцевого сечения??? (взято из текста на сайте) или все таки для нормального?.
Анатолий, добрый день.
«Косозубые цилиндрические колеса, изготовленные методом обкатки, имеют правильный эвольвентный профиль только в плоскости обкатки (в торцевом сечении). В нормальном сечении профиль отличается от эвольвентного.»
В расчетах торцевого контура модуль использован нормальный.
Длина общей нормали измеряется в нормальном сечении.
Спасибо большое, Александр.
Здравствуйте, Александр!
Не удаётся построить зуб внутреннего зацепления.
При внутреннем зацеплении Весь профиль зуба должен быть эвольвентным (без ножки). А диаметр по вершинам зубьев бывает меньше основной окружности, где эвольвента не существует. Как всё-таки построить зуб?
m=8
z=19
Rd=71.42
Rf=86>71.42
Извините за беспокойство. Разобрался. Меньше надо по интернету лазить, а больше книжки читать... :)
Только собрался Вам, Николай, писать ответ, но Вы уже и сами все поняли...
Тело зуба и впадина «меняются местами» в колесе с внутренним зубом. Диаметр вершин и впадин — соответственно тоже...
Всё получилось. Извините за беспокойство...
Не совсем так. Чтобы у нормального колеса с внутренним зацеплением зуб состоял полностью из эвольвенты- число зубьев должно быть 34 и более. Для меньшего числа зубьев приходится вводить коррекцию. А простой заменой ножки на головку зуб внутреннего зацепления не построить.
Согласен с Вами, Николай, но Вы меня не совсем поняли. Я хотел сказать всего лишь, что:
— Эвольвента колеса с внутренними зубьями работает не выпуклой, а вогнутой своей стороной.
— Диаметр впадин колеса с внутренними зубьями больше диаметра выступов (в отличие от колес с наружными зубьями).
— Переходная кривая колеса с внутренними зубьями венчает головку зуба, а не впадину как в колесах с наружными зубьями.
Не должно быть переходной кривой у внутренних зубьев на головке зуба. Весь зуб- эвольвента.
Или я ошибаюсь?
Нет, не ошибаетесь. Вы правы!
Эвольвента начинается «вверх» от начального диаметра.
Да, диаметр вершин da, как правило, всегда больше диаметра основной окружности db. Это означает, что весь зуб — эвольвента.
db=d*cos (at)
da=d-2*(ha-x-0,2)*m
Например, при х=0 и ha=1 db станет больше da только при числе зубьев z<=26. Тогда появится маленький участок переходной кривой. (Всё еще значительно зависит от инструмента - долбяка, протяжки.)
Не готов сказать однозначно — допустима ли такая ситуация. Думаю — допустима, хотя и не рекомендуется различными авторами. Чтобы убедится в одном или другом, следует выполнить проверки качества зацепления по геометрическим показателям (просчитать отсутствие подрезок ножек и заострения вершин; отсутствие интерференции вершин зубьев; проверить коэффициенты перекрытия).
Я так и не понял как Вы посчитали точку пересечения эвольвенты с окружностью вершин, можете рассказать поподробнее
Это точка i=1.
Yэ1=49,971 Xэ1=1,704
Ydai=49,971 Xda1=Xэ1=1,704
Формулы — в таблице координат точек и в тексте статьи. (???)
Я не совсем верно видимо написал из формул, то понятно что откуда берется. Я имел ввиду где вы взяли методику определения этой точки, много сайтов перерыл, но не нашел или не увидел
Методика определения этой точки такая же, как и всех остальных. В статье: 1-я точка эвольвенты лежит на наружном диаметре зубчатого колеса, 100-я — на основном диаметре... Наружный диаметр (диаметр вершин зубьев) и основной диаметр определяют область существования эвольвенты. 1-я точка принадлежит и эвольвенте, и окружности наружного диаметра.
Если я Вас так и не понял, посмотрите ОСТ 1 00258-77.
спасибо, поизучаю
Александр, как вы считаете, из Вашего опыта, какие лучше установить коэф-ты исходного контура для построения профиля мелкомодульного зуба, с целью получения наиболее соответствующего действительности контура переходной кривой при изготовлении методом обкатки: c двумя радиусами pf = 0.38 и с=0.25, либо один радиус впадины pf=0.44 и c=0.3; или же вообще впадина чаще получатся без радиуса при ha=1.1, как в двух других вариантах из ГОСТ 9587 (прил. 2)? Может что-то когда-то в литературе встречали на эту тему?
Контур переходной кривой влияет незначительно только на изгибную прочность зуба, обеспечивая отсутствие интерференции в зацеплении. Разные геометрические формы впадины, я думаю, обусловлены исключительно разными технологическими особенностями изготовления зубонарезного инструмента.
Здравствуйте Александр!
Спасибо за представленный алгоритм, как раз то что искал!
Вопрос: есть ли у Вас информация (формулы) для построения переходной кривой колеса внутреннего зацепления (D, Yo, Xo, Y1, Ai, Bi, fi, Yпк, Xпк)?
Петр, здравствуйте.
Ответ на Ваш вопрос — в комментариях выше.
Здравствуйте Александр! Спасибо за Ваши труды.
Вот выкладываю на Ваш суд результаты моей деятельности.
Может кому пригодится.
github.com/Dgekan/Control-Program-Editor-CNC-Ver.4.0.0
Добрый день Александр,
Спасибо Вам за ваши труды!
Мне тем не менее не удаётся построить зуб внутреннего зацепления. Если можно обьясните пожалуйста подробнее о замене диаметра вершин и впадин в таблице. То что вы писали 2017 году Николаю: «тело зуба и впадина «меняются местами» в колесе с внутренним зубом. Диаметр вершин и впадин — соответственно тоже...» — понятно, но вот с попыткой замены формулы или даже при внесении рассчитаных в ручную величин «на крест» -кривая не выходит.
Еще вопрос по модулю: Модульный ряд у Вас в коментарии к ячейке до м=10. Мое внутреннее колесо очень большое:
м=18, z=194, коррегировано с x=-0,5; d=3492; db=3281,407; df=3552,012 da=3477,6 (диам. вершин еще подрезан к=-1,8, поэтому головка зуба всего 7,2 мм. Хотя это в сущности не важно, если построится эвольвента на полную величину головки зуба, я просто срежу ее часть)
Может быть, что график расплывается потому что модуль ограничен 10?
Был бы очень благодарен Вам за помощь. Профиль построить надо, а не получается.
Заранее спасибо
Виктор
Виктор, здравствуйте.
Конечно на моей картинке-графике Вы ничего без перестройки шкал не увидите. Прочитайте конец статьи раздел ИТОГИ внимательно.
При расчете никакие формулы менять не надо! Эвольвента для наружных и внутренних зубьев находится на одном и том же месте. Просто впадина наружного зуба — это тело зуба внутреннего. И переходной кривой у внутреннего зуба нет, она обрежется.
Добрый вечер Александр,
Спасибо Вам за ответ. Меня честно говоря поджимали сроки с построением эаольвенты для этого колеса и я искал «быстрое решение» Поэтому воспринял Ваш совет Николаю о том что «диаметр вершин и впадин меняется местами» как руководство к действию, т.е. в спешке посчитал что ячейки /формулы нужно поменять местами, вместо того чтобы просто правильно интерпретировать данные в них. Я обязательно ещё раз перечитаю статью и раздел Итоги. В сущности мне было нужно просто получить координаты точек, а график я думал использовать для контроля, чтобы не тратиь время на построение в CAD, если график будет выглядеть не так как должен бы.
Ещё раз большое спасибо за помощь, и за Ваш труд.
С уважением Виктор
Профиль зуба строится правильно только для коэффициента высоты головки = 1, для других значений коэффициента переходная кривая не выходит на диаметр впадин. Ошибки в формулах.
В тексте статьи написано: «Параметры и коэффициенты исходного контура — по ГОСТ 13755-81.» Т.е. ha=1.
Формулы посмотрите в ОСТ 1 00258-77.
В формулах ОСТ 1 00258-77 ha — это параметр ПРК, который вовсе не обязан быть равным 1, например, в авиации используется значение 0.9. У вас в части формул ha — это параметр (формулы 11, 14), а в другой части формул ha = 1 (формулы 16, 22). Поэтому всё это работает только в одном частном случае. Здесь либо надо блокировать изменение ha, либо вбивать общие формулы для переходной кривой.
Согласен. Расчет для ha = 1. Точнее — для исходного контура по ГОСТ 13755-81 без модификации профиля головки зуба! О чем и сказано в начале раздела «Исходные данные».