Как построить точный профиль зуба?

Опубликовано 23 Сен 2015
Рубрика: Механика | 8 комментариев



Эвольвента зуба!При вращении шестерни и находящегося в зацеплении с ней зубчатого колеса происходит неприметная глазу удивительная вещь. При контакте боковых поверхностей зуба шестерни и зуба колеса отсутствует скольжение! Профиль зуба шестерни катится по профилю зуба колеса!

Почему и как такое возможно? Потому, что рабочие поверхности зубьев представляют собой боковые поверхности эвольвентных цилиндров. Торец колеса (точнее — части зуба) является основанием этого цилиндра. Пересечение торцевой плоскости и вышеуказанного цилиндра – это кривая, именуемая эвольвентой.

Современная наука считает «отцом эволют и эвольвент» гениального голландского ученого Христиана Гюйгенса. Теорию этих кривых Гюйгенс открыл (или создал) в 1654 году.

Когда тебе 17 лет, то 1654 год кажется невероятно далеким. Но сегодня, когда мне гораздо больше лет, я понимаю, что моя бабушка 1892 года рождения видела и слышала в своем детстве стариков – современников Пушкина, и даже, возможно, Наполеона — и вот от начала 21-ого века до первой половины 19-ого уже «рукой подать». Глаза близкого мне человека, в которые я смотрел много раз, видели людей, живших в первой половине 19-ого века. Невероятно! А там, еще столько же и — времена Гюйгенса…

Отсутствие скольжения в зубчатом зацеплении обеспечивает очень высокий КПД передачи и существенно уменьшенный износ профилей зубьев потому, что коэффициент трения качения как минимум на порядок меньше коэффициента трения скольжения.

Как построить просто эвольвенту окружности знают все инженеры и математики. Как построить профиль зуба с эвольвентой и переходной кривой, судя по форумам Интернета, знают единицы.

Кому и зачем это нужно?

Во-первых, студентам машиностроительных специальностей для выполнения курсовых работ по теории механизмов и машин.

Во-вторых, конструкторам приводов и режущих инструментов.

В-третьих, изготовителям зубчатых колес на плазморежущих, электроэрозионных и лазерных станках.

Именно третьей группе, я надеюсь, будет особенно полезен представленный далее алгоритм.

Расчет в Excel координат точек профиля зуба.

Для выполнения громоздких и достаточно сложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить этот расчет можно и в программе Calc из бесплатных офисных пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.

Представленный далее алгоритм расчета адаптирован для колес с наружными зубьями. Для колес с внутренними зубьями его можно применить после незначительных поправок.

Для косозубых колес профиль строится для торцевого сечения.

Исходные данные:

Профиль зуба будем «нарезать» реечным инструментом – гребенкой или червячной фрезой. Параметры и коэффициенты исходного контура возьмем по ГОСТ13755-81. Посмотреть на чертеж исходной рейки и понять, что это такое можно здесь.

Первые четыре параметра в ячейках D3-D6 характеризуют исходный контур.

Следующие пять исходных данных в ячейках D7-D11  являются «паспортом» зубчатого колеса, представляя о нем исчерпывающую информацию.

Исходные данные и предварительный расчет в Excel профиля зуба

Алгоритм расчетов:

Результаты расчетов угла профиля и  всех диаметров получены по следующим формулам:

10. αt=arctg (tg (α)/cos (β))

11. dа=d+2*m*(ha*+xΔy)

12. d=m*z/cos (β)

13. db=d*cos (αt)

14. df=dа-2*m*(2*ha*+c*Δy)

Часть профиля зуба – это эвольвента основной окружности диаметром db. Таким образом, эвольвента может существовать в зубчатом колесе от диаметра основной окружности до диаметра вершин зубьев!

Вторая часть профиля зуба – переходная кривая от эвольвенты до диаметра впадин.

Я выбрал количество точек n каждой из кривых для своего примера равное 100, посчитав его достаточным для требующейся точности построения. Если вы захотите его изменить, то вам нужно будет соответственно расширить или сузить таблицу «Координаты точек профиля зуба», которая сдержит 100 строк (imax=n).



Результаты вспомогательных констант определены по формулам:

16. D=2*m*((z/(2*cos (β)) — (1-x))2+((1-x)/tg (αt))2)0,5

17. hdy=(da-db)/(n-1)

18. hγ=γ1/(n-1)

19. hda=2*Xэ1/(n-1)

20. C=(π/2+2*x*tg (α))/z+tg (αt) — αt

21. y0=1- (ρf*)*sin (αt) -x

22. x0=π/(4*cos (β))+(ρf*)*cos (αt)+tg (αt)

Подготовка завершена, можно выполнить расчет в Excel промежуточных данных и непосредственно координат точек профиля зуба.

Координаты точек профиля зуба

Значения в таблице рассчитаны по формулам:

dy1=da

dy (i+1)=dyi-hdy

dy (n)=db

Di=arccos (db/dyi) -tg (arccos (db/dyi))+C

γ1=π/2- αt

γ (i+1)=γ i-hγ

Ai=z/(2*cos(β)) - y0— (ρf*)*cos (γ i)

Bi=y0*tg(γ i))+(ρf*)*sin (γ i)

φi=(2*cos(β)/z)*(x0+y0*tg (γ i))

Yэi=(dyi/2)*cos (Di)

Xэi=Yэi*tg (Di)

Yпкi=(Ai*cos (φi)+Bi*sin (φi))*m

Xпкi=(Ai*sin (φi) -Bi*cos (φi))*m

Xda1=-Xэ1

Xda (i+1)=Xdai+hda

Ydai=((dа/2)2Xdai2)0,5

После того, как расчет в Excel выполнен, запускаем мастера диаграмм и строим точечные графики по полученным координатам. О том, как это делается подробно описано тут.

Профиль зуба - чертеж в Excel

На скриншоте выше синим цветом показан наружный диаметр, темно-синим изображены эвольвенты, лиловым – переходные кривые.

Оси X и Y пересекаются в центре колеса — это точка начала координат.

Excel построил профиль зуба! Задача решена.

Изменяя исходные данные можно мгновенно оценить визуально изменения профиля зуба и увидеть подрезку ножки или заострение вершины при применении смещения контура.

Итоги.

Для того чтобы начертить полный реальный контур зубчатого колеса следует взять координаты точек профиля одного зуба и в любой доступной CAD-программе по этим точкам построить сплайн. Затем нужно размножить его по окружности на количество зубьев, достроить диаметр впадин и получить DXF-чертеж. Имея чертеж, легко написать управляющую программу для станка с ЧПУ и изготовить деталь.

Многие CAD-программы могут выдать чертеж контура зубчатого колеса и без описанных действий, но контур, к сожалению, в большинстве случаев не будет реальным!

Есть интересная программа Gear Template Generator, которая генерирует DXF-файлы контуров зубчатых колес (http://woodgears.ca/gear/index.html). Однако исходные данные для построений какие-то нетрадиционные… да и впадины зубьев — без радиального зазора.

Хочу отметить, что предлагаемый к скачиванию файл Excel с расчетами профиля зуба в данном случае не является полноценной программой и требует от пользователя при работе основополагающих знаний MS Excel и понимания геометрии задачи.

В частности, меняя исходные данные, придется вручную подстраивать шкалы осей и следить за тем, чтобы масштаб по оси X был равен масштабу по оси Y (сетка линий должна образовывать квадратики, а не прямоугольники). Точку сопряжения эвольвенты и переходной кривой при переносе координат в CAD-программу придется корректировать вручную, обрезая ненужные части кривых.

Представленный алгоритм был написан (страшно подумать) в 1992 году для программируемого калькулятора и предназначался для вычерчивания на кульмане чертежей контрольных экранов для оптико-шлифовальных станков.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора  скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с расчетами: profil-zuba (xls 107KB).

Уважаемые читатели, прошу вопросы, отзывы, и замечания писать в комментариях внизу страницы.

На блоге есть несколько статей, посвященных зубчатым (и не только) передачам. Найти их проще всего перейдя на страницу «Все статьи блога» по ссылке, расположенной ниже:

Другие статьи автора блога

На главную


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

8 комментариев на «Как построить точный профиль зуба?»

  1. Евгений 24 Сен 2015 12:10

    Обьясните, что имеется ввиду под понятием «эвольвентные цилиндры».

  2. Александр Воробьев 24 Сен 2015 14:28

    Цилиндр, в основании которого окружность — круговой цилиндр.

    Цилиндр, в основании которого эллипс — эллиптический цилиндр.

    Цилиндр, в основании которого парабола — параболический цилиндр.

    Цилиндр, в основании которого эвольвента — эвольвентный цилиндр.

    Рабочие поверхности зубьев прямозубого колеса — это боковые поверхности эвольвентных цилиндров.

  3. Александр Воробьев 23 Фев 2016 10:31

    Покопался в своих архивах и наткнулся на прекрасную программу ZubEx3.0.4 (ampsoftware.narod.ru/zubex.htm) Плущевского Алексея Михайловича.

    Программа строит контуры эвольвентных зубчатых колёс внешнего/внутреннего зацепления и эвольвентных шлицевых соединений в формате DXF.

    Программа бесплатная, и последняя версия не требует установки (файл .exe)!

  4. 4APK 05 Мар 2016 13:49

    Насколько велики отклонения профиля зубьев, вызванные деформацией от нагрузки на колеса. Хотя бы порядок, миллиметр или больше? Уверен, что заключительная операция обработки – прикатывание – по определению выполнит это самое отклонение.

  5. Александр Воробьев 05 Мар 2016 16:01

    Порядок зависит от размеров зуба и может быть от долей микрометра до долей миллиметра.

  6. Ярослав 11 Апр 2016 13:22

    Есть ли где формулы в привычном понимании, которые приводятся в учебниках? Можно ссылку?

  7. Александр Воробьев 11 Апр 2016 13:38

    «Формулы в привычном понимании» — это как? В привычном написании, может быть? К сожалению, ссылки нет. Переписал эти формулы 30 лет назад из руководства по проектированию контрольных экранов.

  8. Сергей Ермолинский 14 Июн 2016 20:16

    Вот в чем, а в Exel не рублю, потому частенько читаю ваши посты. Спасибо! Не раз выручало.

    (ермолинский.рф)

Ваш отзыв







  • Посетители: 657 649

  • Подписчики: 3 416