Вращение твердого тела
Опубликовано 04 Июл 2022
Рубрика: Механика | 13 комментариев
Оценить время разгона и торможения маховика, шкива передачи или шпинделя станка, рассчитать осевые моменты инерции твердых тел различных форм относительно разных осей, определить кинетическую энергию, момент и работу внешних сил при равноускоренном вращении...
... тела, вычислить мощность привода можно с помощью предложенной в статье программы в Excel ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Первый закон Ньютона применительно к динамике вращательного движения гласит: если на тело не действуют внешние силы, то оно находится в состоянии покоя или вращается вокруг закрепленной оси с постоянной угловой скоростью. То есть при отсутствии внешних сил, препятствующих движению, раскрученное тело будет равномерно вращаться бесконечно долго без приложения каких-либо дополнительных внешних усилий.
Второй закон Ньютона для вращательного движения звучит так: момент внешних сил равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение. То есть при приложении к телу постоянного момента внешних сил вращение будет происходить с постоянным угловым ускорением.
Таким образом, вращение твердого тела происходит с поглощением энергии только в период разгона – движения с ускорением.
Аналогом массы при вращении является момент инерции.
T=J*ε – равноускоренное вращательное движение,
где:
- Т — момент внешних сил, Н*м;
- J – момент инерции твердого тела относительно оси вращения, кг*м2;
- ε – угловое ускорение, рад/с2.
Для сравнения:
F=m*a — равноускоренное прямолинейное движение,
где:
- F – сумма внешних сил, Н;
- m – масса твердого тела, кг;
- a – линейное ускорение, м/с2.
Расчет в Excel динамики вращательного движения.
Программа сначала вычисляет момент инерции тела — шара, цилиндра, конуса или кубоида (9 вариантов тел и осей).
Для сплошного цилиндра (без отверстия) следует задать b=0м.
10-ый вариант выбора формы тела – тело любой формы. В этом случае момент инерции необходимо или посчитать предварительно вручную, или получить данные из любой CAD-программы.
Исходные данные вводятся в светло-бирюзовые ячейки.
При выборе варианта формы тела и оси вращения в блоке исходных данных могут отсутствовать наименования и обозначения некоторых параметров, не нужных для этого конкретного расчета. Хотя числовые значения в ячейках напротив прочерков не влияют на расчеты, оставлять их заполненными данными от предыдущих расчетов не стоит во избежание путаницы.
На следующем скриншоте представлен пример решения задачи по определению момента сил трения и потерь мощности при остановке раскрученного стального с плотностью ρ=7850кг/м3 маховика в форме сплошного цилиндра радиусом a=0,2м и высотой c=0,051м. Маховик, раскрученный вокруг оси z до 480об/мин и предоставленный самому себе, остановился через 50с.
Отрицательное значение момента сил трения T=-1,005Н*м означает, что внешние силы в этом примере тормозили вращение, уменьшая угловую скорость.
Мощность привода P=-25,266Вт показывает в данном случае отбор мощности силами трения.
Маховик совершил N=200 оборотов до момента полной остановки.
Алгоритм расчетов.
Объем тела:
V=(4/3)*π*a3 — шар (1)
V=π*(a2-b2)*c — цилиндр (2)
V=(1/3)*π*a2*с — конус (3)
V=a*b*c — кубоид (4)
Масса тела:
m=ρ*V (5)
Осевой момент инерции тела:
J=(2/5)*m*a2 – шар, ось z (6)
J=(½)*m*(a2+b2) – цилиндр, ось z (7)
J=(1/12)*m*(3*(a2+b2)+c2) – цилиндр, ось y (8)
J=Jy+m*(c/2)2 – цилиндр, ось y1 (9)
J=(3/10)*m*a2 – конус, ось z (10)
J=(3/5)*m*(a2/4+c2) – конус, ось y (11)
J=(1/12)*m*(a2+b2) – кубоид, ось z (12)
J=Jz+m*(a/2)2 – кубоид, ось z1 (13)
J=(1/6)*m*(a2*b2+a2*c2+b2*c2)/(a2+b2+c2) – кубоид, ось u (14)
Угловая скорость:
ω0=π*n0/30 – начальная (15)
ω=π*n/30 – конечная (16)
Угловое ускорение:
ε=(ω— ω0)/t (17)
Суммарный угол поворота тела за время t:
φ=ω0*t+ε*t2/2 (18)
Число оборотов совершенных телом за время t:
N=φ/(2*π) (19)
Момент внешних сил:
T=J*ε (20)
Работа момента внешних сил, совершенная за время t:
A=T*φ (21)
Мощность привода:
P=A/t (22)
Кинетическая энергия, полученная телом за время t:
E=J*(ω2— ω02)/2 (23)
Ссылка на скачивание файла с программой ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА: vrashchenie-tverdogo-tela.xlsx (100KB).
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
13 комментариев на «Вращение твердого тела»
Ваш отзыв
Посетители: 2,1 млн
Александр !.. Очень рад вашим статьям.
Вот, прям сейчас... начал читать вот эту, и ОЧЕНЬ засомневался, что при вращательном движении на тело не действует внешняя (равнодействующая в общем случае) сила: ведь при вращении направления векторов скорости и ускорения меняются. Кажется (не проверял, но уверен), что такого не бывает без воздействия сил.
Вот сейчас прочитал этот комментарий, и понял: НАДО ИДТИ ЗА ШПАТЕЛНМ!!!
Иначе мозги с монитора не собрать...
P.s. Статья нормальная. Кто на физике в школе не спал, тот всё поймет...
Здравствуйте Александр.
Хоть я и не механик по образованию (электронщик),но ваша статья меня заинтересовала, в связи с тем, что мне попалась книга Сергея Ракарского о ротовертерах и маховиках. Возможно вы знакомы с ней. Меня интересует ваше мнение о том что написано в этой книге. Я хотел бы попробовать построить такую машину. Что вы можете посоветовать мне?
Анатолий.
Serge Rakarskiy
Ukraine. 2019
(Дополнения в марте 2020)
rakarskiy.io.ua
rakarskiy.narod.ru
project-source.net
Анатолий, здравствуйте.
Вам могу посоветовать лишь одно — начинать что-то строить только после того, как поймете и разберетесь откуда берется энергия.
Закон сохранения энергии никто не отменял, ни в механике, ни в теплотехнике, ни в электрике, ни вообще — в физике (в том числе и в ядерных реакциях) и химии.
Закон сохранения массы Ломоносова тоже никто не опроверг.
Уровень образования меняется, но строителей «вечных» двигателей от века к веку меньше не становится...
P.S. Почитал Ракарского. «Хорошо, что эм вэ квадрат пополам!» И грустно и смешно.
РАН Комиссия по борьбе с лженаукой:
«Под лженаукой мы понимаем наукообразные воззрения и построения, которые находятся в противоречии со строго установленным знанием. К последнему относятся законы сохранения (массы, заряда, энергии, импульса, момента импульса и т.д.) и огромное количество знаний в области фундаментальных констант, таких как скорость света, массы элементов, частоты спектральных линий и так далее. Всё это относится к области давно и строго установленного знания. Кроме того имеется и область развивающейся науки, которая имеет дело с границами знания и незнания. Эта область находится в руках текущей науки и не в компетенции нашей Комиссии. Наша задача состоит в защите общества и государства от заведомых заблуждений, которые часто принимают криминальные формы, когда, например, ловкие дельцы начинают продавать «вечные двигатели», «плащи-невидимки», философский камень, «живую воду»...»
Как раз занимался расчетами для маховиков, статья и расчет отличный!
Александр, вы же слышали об американской уже воплощённой идее раскручивать спутники для запуска на орбиту. Там приводятся какие-то значения скоростей и ускорений. Есть фото, но неясен масштаб. Зная эти 2 цифры можно ли вычислить диаметр этого сооружения. Может ли там быть турбина 100м в диаметре ?
hightech.plus/2022/04/11/nasa-ispitaet-tehnologiyu-kosmicheskoi-prashi-dlya-otpravki-sputnikov-na-orbitu
цифры здесь
a=v^2/R=10000*g=98100 м/c^2
v=8000*1000/(60*60)=2222,2 м/c
R=v^2/a=2222,2^2/98100=50,339 м
Там не турбина, а центрифуга с капсулой на конце карбоновой стрелы (по тексту статьи).
Радиус расположения капсулы относительно центра вращения — R.
w=v/R=2222,2/50.339=44,145 рад/с
n=30*w/3,14=30*44,145/3,14=421,6 об/мин
Во, как точно получилось, именно 100 м. Я с трудом представляю конструкцию 100 м в диаметре, которая вращается об/сек. Я думаю, было бы логичнее вращать не одну, а 2 консоли , а лучше 10 . Которые себя уравновесят. С такими параметрами как 10000g, сомневаюсь, что из этого будет толк.
7 оборотов/сек. Я до сих пор не понимаю, почему закрыли Шаттл и Буран. Почему нельзя не взлетать вертикально, преодолевая земное притяжение, а опираясь на атмосферу, лететь горизонтально. Чем выше , тем сопротивление меньше. А при посадке надо тормозить двигателем до разумных скоростей, когда не сгорает обшивка крыльев. И сейчас есть проекты космических самолетов. И Безос строит (уже построил) что-то подобное.
получается 200 кг груза отрывает консоль с силой 204 тонны.
Плюс масса самой консоли.
Мы же видели , что принцип действия системы требует точного отпуска груза в точное время, чтобы попасть в окошко. 7об/сек. Точное попадание в окно и траектория полета требует отрыва точно в определенном 1 градусе. 1/7*360=0,0004 с. С такой скоростью должен сработать механизм отрыва ракетки. Если допуск в 2 градуса, то около 1 мс. Я думаю, только электромагниты могут стоять там, которые держат 204 тонны груза.
Могу себе представить разрушения корпуса, если оторвется ракетка раньше на полсекунды. Но конечно, разрушения не больше, чем взрыв ракеты с топливом на столе.
В Китае строят гигантский гравитационный аккумулятор
4pda.to/2023/12/30/422481/v_kitae_stroyat_gigantskij_gravitatsionnyj_akkumulyator/
Александр, в комментах предположили, что подьем груза с энергией 2гвт*ч вызовет замедление Земли. Я уверен, что это правда. Хоть 1 секунду китайцы украдут у нас ?