Вычисление интегралов в Excel

Опубликовано 10 Авг 2015
Рубрика: Справочник Excel | 12 комментариев



Метод Симпсона.При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Например:

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Методы численного интегрирования: метод трапеций и метод Симпсона.

Площадь под кривой = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.



Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания  воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

Заполним таблицу.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi.

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i, поступающего на вход коллекторов.

Вычисление интегралов -1-24s

4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе

dti=t2i-t1i

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F

Ni=c*G*dti

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

График тепловой мощности -24s

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Qi=(Ni+1+Ni)*(τi+1-τi)/2

QQi=10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Qj=(Ni+4*Ni+1+Ni+2)*(τi+1-τi)/3

QQj=10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

Вычисление интегралов -2-24s

По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.

Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

12 комментариев на «Вычисление интегралов в Excel»

  1. Александр Попов 11 Авг 2015 10:29

    Хотя и не часто но приходится сталкиваться с анализом функциональных зависимостей. Благодарю Вас за напоминание что есть интегралы и ,конечно, за Ваше решение в EXCEL.

  2. Станислав 11 Авг 2015 11:49

    Всегда интересные темы находите. Читаю с удовольствием.

  3. Серегй 11 Авг 2015 12:18

    очень интересная и полезная статья!

    действительно очень просто в Екселе сделать подобное действие!

  4. Сергей 11 Авг 2015 13:03

    Александр, спасибо за Вашу очередную полезную работу

  5. Александр Воробьев 12 Авг 2015 13:28

    Всем спасибо за отзывы.

  6. Бахтиёр 03 Ноя 2015 22:48

    Большое спасибо за столь простое интересное и общедоступное объяснение, мне приходится иметь дела с фармакокинетическими кривыми вернее площадью под кривой лекарственных средств AUCt-0 (Кривая зависимости — концентрация лекарственного вещества в крови в теченеие времени), Ваша статья станет просто настольной инструкцией для всех фармакологов.

  7. Александр Воробьев 03 Ноя 2015 23:07

    Неожиданный и очень приятный комментарий, Бахтиёр.

  8. Сергей 23 Дек 2015 19:26

    Очередная полезная штучка, спасибо

  9. Иван 11 Фев 2016 19:36

    А можете мне уточнить почему в примере, в формулах делитель 120, и 180? это связано с тем чтобы перейти в размерность часы? почему у вас складывается размерность и появляется она в делителе? если я буду считать в 0,0001 секунды, то делитель будет 3? по методу Симпсона? и размерность получиться кг.*с.? Спасибо, заранее

  10. Александр Воробьев 11 Фев 2016 20:51

    120=2*60

    180=3*60

    Интервалы между строками — 1 минута = 1/60 часа.

    В методе трапеций мощности складываются, делятся на 2 и умножаются на 1 минуту, выраженную в часах. Получается энергия в КВт*час = площади трапеции.

    Аналогично и по формуле Симпсона.

    Я не знаю, что Вы считаете, Иван, но делитель в формуле Симпсона, конечно, равен 3.

    Что такое кг*с? У Вас по оси Y — кг, а по оси X -с?

    Если так, то просто считайте по формуле Симпсона (делитель — 3) и получите кг*с.

  11. Иван 16 Фев 2016 13:29

    Спасибо Александр, теперь понятно)) с этим моментом

  12. Виталий 16 Мар 2016 08:34

    Большое спасибо за статью , очень понятно и интересно написано, очень пригодилась )) в качестве благодарности рекомендую пару бесплатных приёмов по привлечению 1000 читателей.

    (bit.ly/1psW6RB)

Ваш отзыв







  • Посетители: 657 649

  • Подписчики: 3 416