Расчет пружины
Опубликовано 28 Сен 2024
Рубрика: Механика | 7 комментариев
В статье выполнен анализ результатов расчетов по различным формулам и алгоритмам (в том числе МКЭ) деформации витка цилиндрической пружины сжатия из проволоки (прутка) круглого сечения от действия сжимающей силы. Проанализировано воздействие поправочных коэффициентов...
...Вааля и Вуда на силу упругости и деформацию при вычислениях. Построены графики предельных углов подъема витка, рассмотрено влияние угла подъема на выносливость пружин. Проведено сопоставление опытных данных и результатов расчетов. Разобрано влияние погрешностей исходных данных на результат решения. Представлен улучшенный вариант программы расчета пружины сжатия в Excel по формулам ГОСТ 13765-86 и СТ ЦКБА 044-2010.
1 Принятые обозначения и единицы измерения
1.1 Механические и физические свойства материала
E — модуль Юнга (модуль нормальной упругости), МПа
μ — коэффициент Пуассона
G=E/(2 (1+μ)) (1) — модуль сдвига, МПа
Rm — предел прочности при растяжении, МПа
[τ3]≈(0,3…0,6) Rm (2) — предельно допустимое касательное напряжение в сечении витка, МПа
ρ — плотность, кг/м3
1.2 Геометрические и силовые параметры
d — диаметр проволоки (прутка), мм
D1 — наружный диаметр витка, мм
D=D1-d (3) — средний диаметр витка, мм
t0≤[s3']+d (4) — шаг навивки в свободном состоянии, мм
α0=arctg (t0/(πD) (5) — угол подъема витка в свободном состоянии, °
i=D/d (6) — индекс пружины (как правило: 4≤i≤12)
n — число рабочих витков
n1 -полное число витков
s — деформация, мм
F — осевая сила, Н
1.3 Поправочные коэффициенты
k1 — коэффициент, учитывающий кривизну витка (коэффициент Вааля)
k2 — коэффициент, учитывающий нелинейность (уменьшение) жесткости витка (коэффициент Вуда)
1.4 Индексы и скобки у параметров
0 — при свободном состоянии пружины
1 — при предварительном сжатии
2 — при рабочей деформации
3 — при максимальной деформации
' — уточнение, что параметр «для одного витка»
[ ] — предельно допустимые (максимальные) значения
2 Деформация, сила и жесткость витка
Деформация (ход) пружины s зависит от величины сжимающей осевой силы F. Зависимость эта близка к линейной.
Зная геометрические размеры витка d и D, модуль сдвига G и значение предельно допустимого касательного напряжения для материала проволоки [τ3], можно вычислить предельно допустимую осевую деформацию витка [s3'] и вызывающую эту деформацию максимальную осевую силу [F3]:
[s3']=[τ3]πdi2k2/(Gk1) (7)
[F3]=[τ3]πd2/(8ik1) (8)
Если разделить выражение (8) на (7), получим формулу для жесткости витка c' в Н/мм:
c'=[F3]/[s3']=Gd/(8i3k2) (9)
Тогда:
[s3']=[F3]/c' (10)
[F3]=[s3']c' (11)
Вычислив по формуле (4) максимально допустимый шаг навивки проволоки [t0], следует его округлить в меньшую сторону до ближайшего приемлемого значения, которое может обеспечить имеющееся в наличии оборудование.
Геометрия и сила витка полностью определены, можно проектировать пружину, состоящую из необходимого количества рабочих и «мертвых» (поджатых) витков, но предварительно подробно разберемся с коэффициентами k1 и k2.
3 k1 — коэффициент, учитывающий кривизну витка
Формула (7) была изначально выведена при рассмотрении упрощенной модели нагружения прямолинейного бруса только крутящим моментом и поперечной силой, для которого:
k1=1+1/(2i) (12)
Для схемы нагружения криволинейного бруса, каковым является виток пружины, разными исследователями получены несколько эмпирических формул, дающих, впрочем, очень близкие результаты:
k1=(4i-1)/(4i-4)+0,615/i (13) — формула Вааля
k1=(4i+2)/(4i-3) (14) — формула Бергштрассера
k1=(i+0,2)/(i-1) (15) — формула из чешского стандарта ČSN 02 6004
k1=(i+0,5+sin2α0)/(i-0,75+1,51sin2α0) (16) — формула из [4]
k1=1+1,5/i (17) — формула из источников [1] и [5]
Формула Вааля используется в настоящее время наиболее широко и у нас, и за рубежом. Она фигурирует в алгоритмах и по ГОСТ 13765-86, и по СТ ЦКБА 044-2010.
Коэффициент Вааля при расчете увеличивает действующее касательное напряжение в сечении криволинейного витка.
4 k2 — коэффициент, учитывающий уменьшение жесткости витка при деформации
Коэффициент k2≠1 именуется коэффициентом Вуда и используется при вычислениях только по СТ ЦКБА 044-2010:
k2=1+1/(2i) -1/(2i2) (18) — формула Вуда
В иных документах по расчетам пружин коэффициент Вуда не упоминается, уменьшение жесткости при увеличении деформации не учитывается т.е.:
k2=1
Коэффициент Вуда уменьшает расчетную жесткость витка.
5 Угол подъема витка и выносливость
Геометрия витка в свободном состоянии полностью определяется тремя параметрами: диаметром проволоки (прутка) d, диаметром D и шагом винтовой линии t0. Все три параметра неразрывно связаны друг с другом ограничениями, обусловленными механическими свойствами материала пружины и её работоспособностью.
Путем простых преобразований из формул (5) и (7) не сложно получить выражение для определения предельно допустимого угла подъема витка в свободном состоянии [α0]:
[α0]=arctg ([τ3]ik2/(Gk1)+1/(πi)) (19)
Зная предельно допустимое касательное напряжение [τ3] и модуль сдвига материала проволоки G, а также индекс пружины i, всегда можно посчитать угол подъема витка [α0], превышать который не следует!
Угол подъема α0 и индекс i витка определяют вместе с механическими свойствами материала выносливость (количество рабочих циклов) пружины.
Для сталей из ГОСТ 13764-86 для пружин класса I (≥107 циклов) в зависимости от диаметра проволоки d предельные касательные напряжения находятся в диапазоне: [τ3]≈410…810 МПа; для класса II (≥105 циклов) — [τ3]≈735…1350 МПа; для класса III (≥2000 циклов) — [τ3]≈1050…1350 МПа.
С помощью вышеприведенных графиков можно оценить количество циклов безотказной наработки. Например, для витка, изготовленного из проволоки класса 2 по ГОСТ9389-75, с параметрами d=4 мм, D1=52 мм, t0=18,75 мм (индекс i=12, угол подъема витка α0=7,09°) по графику предельно допустимое касательное напряжение [τ3]≈700 МПа. При этом для пружин класса I из этой проволоки [τ3]=441 МПа, а для пружин класса II [τ3]=735 МПа. Т.е. ресурс рассматриваемого витка ≥105 циклов (класс II). Для увеличения количества циклов безотказной наработки до ≥107 циклов (класс I) угол подъема рассматриваемого витка должен быть α0<5° (t0<13,2 мм). При этом ход s3 и сила F3, конечно, уменьшатся.
Чем меньше действующее касательное напряжение τ2 в сечении витка при рабочих деформациях относительно предельно допустимого [τ3], тем больше долговечность пружины.
6 Анализ деформации витка по различным алгоритмам расчетов
В литературе [1] приведены формулы, при выводе которых был учтен ряд дополнительных факторов, проигнорированных из-за не очень существенного их влияния при выводе формул (7) и (8).
По формуле (20) (в [1] это формулы 4.28б и 4.29) вычисляется деформация витка s' для случая «малых» упругих перемещений при условии, что торцы витка пружины могут свободно поворачиваться вокруг её оси, т.е. виток нагружен только продольной силой:
s'=16FD03(1+μcos2α0)/(Ed4cosα0)+πFD0(sin2α0/(Eπd2/4)+ +cos2α0/(Gπd2/4))/cosα0 (20)
По формуле (21) (в [1] 4.37) вычисляется деформация витка s' для случая «больших» упругих перемещений при тех же условиях закрепления и нагружения:
s'=(sinα0-sinα)((πD0)2+t02)0,5 (21)
Угол подъема витка α в формуле (21) находится из выражения (22) (в [1] 4.39) по заданному значению силы F:
F=4BCsin (α-α0)(Bcosαcosα0+Csinαsinα0) cos2α0/(D02(Bcos2α+ +Csin2α)2cosα) (22)
где:
B=πd4E/64 (23)
C=πd4G/32 (24)
При осевом нагружении при практически неизменной общей длине проволоки происходит незначительное раскручивание пружины сжатия — незакрепленные торцы проволоки повернутся, при этом рабочее число витков n уменьшится, наружный диаметр D1 немного увеличится.
В [1] представлены формулы для вычисления угла поворота торцов и диаметра деформированной пружины для вариантов со свободными для поворота торцами и закрепленными или нагруженными моментами.
В представленной ниже таблице собраны результаты вычислений деформаций шести разных витков пружин по пяти формулам (алгоритмам). На графиках изображены отклонения этих результатов относительно расчета по ГОСТ 13765-86.
И метод конечных элементов (МКЭ), и формулы (20), (21) выдают для наиболее распространенных индексов пружин (i=4…12) деформации s на 1…3% больше, чем по ГОСТ 13765-86. Результаты по СТ ЦКБА 044-2010 больше на 4…9%.
7 Сравнение опытных данных и результатов расчетов
Измеренные опытным путем нагрузки и деформации для восьмидесяти одной пружины взяты из источника [2]. На графике выведены отклонения рассчитанных деформаций по ГОСТ 13765-86 и СТ ЦКБА 044-2010 от опытных данных. Результаты вычислений по ГОСТ 13765-86 отсортированы в монотонную кривую для облегчения восприятия графической информации.
Данные для двадцати шести пружин, испытанных автором статьи [2] Горсуновым П.И. и для пятидесяти пяти, испытанных в лаборатории МИМЭСХ объединены. Несколько пружин с крайними результатами исключены из анализа, т.к., очевидно, в опытные данные вкрались или ошибки, или опечатки. Индексы испытанных пружин: i=4,085...11,433.
Деформации, посчитанные по ГОСТ 13765-86, в среднем на 5,2% меньше деформаций, установленных опытами. Разброс значений — от -14,0% до +3,5%.
Деформации, определенные по СТ ЦКБА 044-2010, в среднем всего на 0,7% больше, определенных в результате опытов. Разброс значений — от -8,2% до +10,4%.
Результаты расчетов по СТ ЦКБА 044-2010 заметно ближе к фактам измерений!
8 Влияние погрешностей исходных данных на деформацию
Для вычисления относительной погрешности деформации витка пружины s при приложении силы F воспользуемся формулой из [3]:
δs=±(3δD+δn+δF+δG+4δd) (25)
Пусть: δD=1%, δn=1%, δF=1%, δG=1%, δd=1%.
Тогда: δs=±10%!!!
Определить с такой высокой точностью модуль сдвига G, измерить силу F, изготовить пружину с такой геометрической точностью — не простая техническая задача… Комментарии излишни.
9 Программа «Расчет пружины сжатия» в Excel
Для автоматизации выполнения расчетов по формулам ГОСТ 13765-86 и одновременно по СТ ЦКБА 044-2010 переработана программа в Excel из старой статьи. Новый вариант сохранил прежнюю логику действий пользователя. Работа начинается с определения шага t0 (угла подъема α0) витка по четырем исходным данным: классу пружины (выносливости), материалу и диаметру проволоки d, наружному диаметру витков D1. Заканчивается работа полным определением размеров пружины с построением графика зависимости силы упругости F от деформации s.
Ссылка на скачивание файла: raschet-pruzhiny.xlsx (222KB)
Предельное касательное напряжение [τ3] считается в программе по минимальному значению предела прочности Rm в стандарте на материал проволоки с учетом коэффициента уменьшения по ГОСТ 13764-86, определяющего класс пружины.
10 Выводы
При неизменной нагрузке F и постоянстве прочих исходных данных расчет по ГОСТ 13765-86 выдает меньшие значения деформации s, расчет по СТ ЦКБА 044-2010 — бóльшие. Формулы (20) и (21) и МКЭ дают деформации s между этими значениями, но ближе к результатам по ГОСТ 13765-86. Данные опытов чрезвычайно близки к итогам расчетов по СТ ЦКБА 044-2010.
Пономарев С.Д. в главе 4 книги [1] резюмирует: «Уточнение формулы жесткости пружины в связи с кривизной витков, их изгибом и влиянием поперечной и нормальной сил при малых углах подъема практически нецелесообразно, так как принятые допуски на размеры пружин, на число витков, а также незнание точной величины модуля сдвига G все равно могут привести к значительному отклонению (достигающему ±10%) действительного осевого перемещения от расчетного.»
Невозможно с этим высказыванием не согласиться.
11 Литература
- Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и приборов (1980)
- Горсунов П.И. Деформация винтовых цилиндрических пружин простейшего типа «Известия Сибирского Механико-Машиностроительного Института» (1934): Том 1 (53), выпуск 2. стр. 93–124.
- Коваленко А.П. Упругие элементы (1999)
- Курендаш Р.С. Конструирование пружин (1958)
- Радчик А.С, Буртковский И.И. Пружины и рессоры (1973)
- ГОСТы (13764…13776) -86
- СТ ЦКБА 044-2010
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
7 комментариев на «Расчет пружины»
Ваш отзыв
Посетители: 2,2 млн
Выражаю уважение автору!
Проделана значительная работа, качественно повышающая точность инженерных расчётов.
Благодарю за труд. Нужная для меня информация
Автору большой респект!
Была задача впихнуть не впихуемое. Помучившись с компасом, сам было хотел набросать расчет по ЦКБАшной методике. И уж было начал, а тут такая удача.
Еще раз большое спасибо!
Добрый день!
Александр, выражаю огромную благодарность за Ваш труд! Более пяти лет назад я наткнулся на Вашу предыдущую статью про пружины — это был глоток свежего воздуха. У меня была задача рассчитать пружину, из источников ГОСТ и стандарт нашего предприятия (грубо методичка на основании того же ГОСТа) я путался и ничего не получалось. Изучив Ваш материал, я начал вникать и выстраивать свою методику расчета. Как итог, мои расчетные значения совпадают с реально изготовленной пружиной. Статистику я не вел, но могу сказать что из пяти случаев (посчитал — изготовили) в двух надо было либо убрать виток либо добавить. Одновременно сложилось четкое понимание решения двух задач: 1. Когда надо установить пружину в определенное место и при это что бы она обеспечила требуемую силу. 2. Обратная задачка, когда надо определить (без оборудования) параметры находящейся у тебя на столе пружины. Может все сумбурно, да я не пользовался Вашим файлом для расчета, но мозги вы мне поправили. Хочется поделится методикой. Не знаю пока как, нужна Ваша почта, я бы скинул или заходите на мой канал в телеге t.me/gidroprivod, если не получится дополнительно предлагаю посмотреть нормально 1916А Пружины сжатия и ОСТ 1 13553, может что то новое для Вас будет . P. S От всей души поздравляю с Первым мая!
Иван, здравствуйте.
Благодарю за отзыв. Адрес отправил на Вашу почту.
Доброго времени суток, Александр! Спасибо за Ваш труд! Периодически пользуюсь Вашим расчетом, очень помогает. Подскажите, нет ли у Вас в планах сделать расчёт для тарельчатых пружин? :)
Здравствуйте, Виталий! Спасибо за отзыв. Пока планов по тарельчатым пружинам нет.