Моменты инерции сечения балки
Опубликовано 22 Ноя 2013
Рубрика: Механика | 5 комментариев
Моменты инерции сечения балки (бруса, стержня) относятся, как и площадь сечения, к одним из основных геометрических характеристик элемента, участвующих в расчетах на прочность. Напомню, что балкой в сопромате называется элемент, у которого один из размеров — длина...
...существенно больше двух других – ширины и высоты. Именно два последних габаритных размера плюс форма и влияют наряду со свойствами материала на прочностные характеристики балки.
Геометрические моменты инерции сечения нельзя путать с моментами инерции тел, хотя их смысл весьма схож. Момент инерции тела вокруг некоторой оси – это сумма произведений масс элементарных «объемных» точек тела на квадраты расстояний от оси до этих точек. Момент инерции сечения (плоской фигуры) — это сумма произведений площадей элементарных «плоских» точек этого сечения на квадраты расстояний от них до рассматриваемой оси.
Принято считать, что понятие и термин «момент инерции поперечного сечения» ввел в 1834-ом году француз Перси, хотя и до него многие ученые использовали в своих работах понятия, имеющие этот же смысл.
Формулы для вычисления осевых моментов инерции, а также радиусов инерции и моментов сопротивления почти тридцати элементарных фигур, из которых можно составить любое сечение бруса, можно взять в разделе «Элементы сопротивления материалов» главы №1 «Общетехнические сведения» тома №1 «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева. Этот трехтомный справочник, являющийся главной настольной книгой нескольких поколений инженеров-механиков и претерпевший около десяти переизданий, и сегодня продолжает являться востребованным и актуальным. Я думаю, он должен обязательно быть у каждого инженера, тем более что найти его в Сети – не проблема. Конечно, интересующие нас формулы можно найти и в другой справочной литературе.
Для двутавров, швеллеров, уголков, труб и прочих прокатных и гнутых профилей, широко применяемых в машиностроении и строительстве, геометрические характеристики сечений, включая моменты инерции, можно найти в таблицах ГОСТов, ОСТов и прочих нормативных документов, которые регламентируют их изготовление.
Балки и стержни, составленные из двух или более элементарных профилей, применяют для повышения прочности и жесткости элементов при отсутствии адекватной с точки зрения массы и габаритов замены одиночным профилем. На практике – это спаренные уголки, двухветвевые колонны, балки с усиленным листовой полосой поясом и другие случаи.
Геометрические характеристики составного сечения. Расчет в Excel.
В статье «Как найти центр тяжести?» мы рассматривали в качестве примера составную фигуру, состоящую из треугольника и прямоугольника с вырезом в виде полукруга. Продолжим работу с этим примером. Хотя балку, имеющую столь причудливое сечение, на практике нигде и никогда, наверное, не встретишь, для не очень сложного и наглядного примера она нам подойдет!
Запускаем программу MS Excel или программу OOo Calc, и начинаем работу!
С общими правилами форматирования электронных таблиц, применяемыми в статьях блога, можно ознакомиться здесь.
Из вышеупомянутой статьи мы уже знаем координаты центров тяжести, площади элементов сечения и площадь всего составного сечения. В этой статье продолжим начатую работу, и выполним расчет других геометрических характеристик.
Исходные данные:
Пункты 1, 2, 3 копируем из файла raschet-tsentra-tyazhesti и заполняем диапазон ячеек D3:F6.
4. Рассчитаем осевые и центробежные моменты инерции элементов относительно собственных центральных осей Ixi, Iyi, Ixiyi в см4, воспользовавшись формулами из «Справочника конструктора-машиностроителя» В.И. Анурьева
в ячейке D7: =80*40^3/12/10000 =42,667
Ix1=a1*(b1^3)/12
в ячейке D8: =40*80^3/12/10000=170,667
Iy1=b1*(a1^3)/12
в ячейке D9: =0=0,000
Ix1y1=0 (элемент с осевой симметрией)
в ячейке E7: =24*42^3/36/10000=4,939
Ix2=a2*(h2^3)/36
в ячейке E8: =42*24^3/48/10000=1,210
Iy2=h2*(a2^3)/48
в ячейке E9: =0=0,000
Ix2y2=0 (элемент с осевой симметрией)
в ячейке F7: =- (ПИ()/8*26^4-8/9/ПИ()*26^4)/10000=-5,016
Ix3=- (π/8)*(r3^4) — (8/(9*π))*(r3^4)
в ячейке F8: =-ПИ()/8*26^4/10000=-17,945
Iy3=- (π/8)*(r3^4)
в ячейке F9: =0=0,000
Ix3y3=0 (элемент с осевой симметрией)
Осевые моменты инерции третьего элемента – полукруга – отрицательны потому, что это вырез в прямоугольнике – пустое место!
Расчет геометрических характеристик:
Пункты 5, 6, 7 копируем из файла raschet-tsentra-tyazhesti и заполняем объединенные ячейки D11E11F11…D15E15F15.
8. Рассчитаем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0, проведенных через центр тяжести Ix0, Iy0, Ix0y0 в см4
в объединенной ячейке D16E16F16: =((D5-D15)^2*D6+(E5-D15)^2*E6+(F5-D15)^2*F6)/10000+D7+E7+F7=90,122
Ix0=Σ((yci— Yc)^2*Fi)+ΣIxi
в объединенной ячейке D17E17F17: =((D4-D14)^2*D6+(E4-D14)^2*E6+(F4-D14)^2*F6)/10000+D8+E8+F8=159,678
Iy0=Σ((xci— Xc)^2*Fi)+ΣIyi
в объединенной ячейке D18E18F18: =((D5-D15)*(D4-D14)*D6+(E5-D15)*(E4-D14)*E6+(F5-D15)*(F4-D14)*F6)/10000+D9+E9+F9=-50,372
Ix0y0=Σ((yci-Yc)*(xci-Xc)*Fi)+ΣIxiyi
9. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения Iv и Iu в cм4
в объединенной ячейке D19E19F19: =($D$16+$D$17)/2+((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5=186,111
Iv=(Ix0+Iy0)/2+(((Ix0-Iy0)/2)^2+Ix0y0^2)^0,5
в объединенной ячейке D20E20F20: =($D$16+$D$17)/2- ((($D$16-$D$17)/2)^2+$D$18^2)^0,5=63,689
Iu=(Ix0+Iy0)/2- (((Ix0-Iy0)/2)^2+Ix0y0^2)^0,5
10. Найдем угол наклона главной оси v к центральной оси x0 α в градусах
в объединенной ячейке D21E21F21: =ATAN (D18/(D20-D16))/ПИ()*180=62,311
α =arctg (Ix0y0 /(Iu-Ix0))
11. И в заключении вычислим радиусы инерции составного сечения iv и iu в мм
в объединенной ячейке D22E22F22: =(D19*10000/D11)^0,5=26,540
iv=(Iv/F0)^0,5
в объединенной ячейке D23E23F23: =(D20*10000/D11)^0,5=15,526
iu=(Iu/F0)^0,5
Задача выполнена – вычислены моменты инерции и радиусы инерции составного сечения из трех простых элементов! Получены все необходимые данные для построения эллипса инерции.
Файл Excel с расчетной программой позволяет легко выполнить полный расчет геометрических характеристик поперечного сечения балки, состоящего из двух или трех простых элементов. При необходимости несложно расширить возможности расчетного модуля до большего количества элементов.
Ссылка на скачивание файла: geometricheskie-kharakteristiki-secheniia (xls 21,0KB).
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
5 комментариев на «Моменты инерции сечения балки»
Ваш отзыв
Посетители: 2,1 млн
Добрый день, долго искал хороший пример расчёта моментов инерции составных сечений. Можете подсказать как правильно суммировать (моменты инерции) разнные сечения находящиеся на расстоянии друг от друга. Вот в частности на примере моей задачи 4 трубы нар.Д27мм толщ.стенки 2мм образуют квадратную балку вокруг тонких колец трубы Д50мм. с шагом 300мм. Растояние между их центрами 53.74мм В итоге найти все хор-ки получившегося сечения и прогиб консоли 2 метра при нагрузке в 200кг.:))
Андрей, вышлите эскиз сечения. Из текста не очень понятно...
Андрей, решение Вашей задачи отправлено по e-mail.
Так читаю не 1 раз не могу разобраться можно для примера и мне его задачку с решением и заданием!
Пришлите свой вопрос, получите ответ. Я, Константин, не храню ответы на простые вопросы (их в сутки бывает уже до сотни).