Расчет на устойчивость сжатых стержней

Опубликовано 25 Авг 2013
Рубрика: Механика | 11 комментариев



Потеря устойчивости селезнем, прижатым сверху гирейУстойчивость сжатых стержней – это один из наиболее важных и сложных разделов науки сопротивление материалов. Все разрабатываемые конструктором или проектировщиком детали и конструкции должны быть прочными, жесткими и устойчивыми! В этой статье мы детально...

...рассмотрим третью составляющую успеха будущей жизни машины или  строительной конструкции  -  разберемся с обеспечением устойчивости центрально сжатых стержней. Более сложные задачи устойчивости (в частности – объемные, динамические) в данной статье рассматриваться не будут.

Что это такое -  потеря устойчивости? Самым простым и наглядным примером потери устойчивости стержнем при центральном сжатии является  опыт с  обычным стержнем для шариковой авторучки.

Поставим стержень вертикально, уперев писчим шариковым узлом в подложенный на стол лист бумаги. Указательным пальцем начнем потихоньку давить на стержень сверху вниз, стараясь направить силу строго вдоль вертикальной оси. При достижении силой некоторого критического значения стержень начинает изгибаться – это явление и называется потерей устойчивости. Если силу нажатия уменьшить, то стержень вернется из дугообразного состояния в первоначальное прямолинейное состояние. Однако если силу продолжить увеличивать, то произойдет лавинообразный невозвратный пластический изгиб и, возможно, разрушение.

Опасность этого явления заключается еще в том, что выход из устойчивости происходит при напряжениях в несколько раз меньших предела текучести и  тем более предела прочности материала стержня. Если при проектировании центрально сжатого стержня выполнить только прочностной расчет и не выполнить расчет на устойчивость, то это может привести к очень негативным последствиям…

Расчет в Excel на устойчивость по трем различным алгоритмам.

Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в бесплатной программе OOo Calc из пакета Open Office.

Далее мы создадим программу в Excel и выполним в ней расчет на устойчивость сжатого стального стержня, например, прокатного уголка 50×5 ГОСТ 8509-72 из Стали С245 длиной 0,6 метра. Расчеты произведем: по формулам классического сопромата, по формулам СНИП II-23-81* (издание 1991 года) и по формулам СП 16.13330.2011 (актуализированная редакция СНИП II-23-81*, издание 2011 года).

Нагруженный вертикальной силой стержень с заделкой с одной стороны и свободным концом с другойВариант схемы нагрузки стержня показан на рисунке слева.

Исходные данные  будем писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой. В ячейках со светло-зеленой заливкой, как обычно, поместим мало подверженные изменениям исходные данные.

В примечаниях ко многим ячейкам даны рекомендации и ссылки, помогающие пользователям правильно и легко заполнить таблицу исходных данных. Скачать бесплатно СНИП II-23-81* (издание 1991 года) и  СП 16.13330.2011 из Сети сегодня очень легко и просто – эти документы в открытом доступе.

Исходные данные:

Создаем файл Excel и начинаем работу.

1. Расчетную длину стержня l ef в миллиметрах заносим

в объединенную ячейку D3E3F3: 600

2. Коэффициент приведенной длины mu записываем

в объединенную ячейку D4E4F4: 2,000

3. Площадь сечения стержня A в квадратных сантиметрах вписываем

в объединенную ячейку D5E5F5: 4,800

4. Минимальный момент инерции сечения стержня I min в сантиметрах в четвертой степени записываем

в объединенную ячейку D6E6F6: 4,630

5. Расчетное сопротивление проката Ry в мегапаскалях  вводим

в объединенную ячейку D7E7F7: 240

6. Модуль упругости материала стержня E в мегапаскалях  заносим

в объединенную ячейку D8E8F8: 206000

7. Коэффициент условий работы gamma c вписываем

в объединенную ячейку D9E9F9: 0,75

8. Коэффициенты, зависящие от типов сечений alpha и beta, участвующие в расчете по третьему алгоритму,  вписываем соответственно

в ячейку F10: 0,04

и в ячейку F11: 0,14

Программа расчета в Excel на устойчивость сжатых стержней



Расчет вспомогательных параметров и критической центральной сжимающей силы:

9. Радиус инерции сечения стержня i min в сантиметрах рассчитан

в объединенной ячейке D13E13F13: =(D6/D5)^0,5=0,982

i min =(Imin /A)^0,5

10. Гибкость стержня lambda вычислена

в объединенной ячейке D14E14F14: =D4*D3/10/D13=122,183

lambda=mu*l ef/i min

11. Условная гибкость стержня lambda’ определена

в объединенной ячейке D15E15F15: =D14*(D7/D8)^0,5=4,170

lambda= lambda *(Ry/E)^0,5

12. Коэффициент продольного изгиба phi рассчитан по второму и третьему алгоритмам соответственно

в ячейке E16: =ЕСЛИ(D15<=2,5;1-D15^1,5*(0,073-5,53*D7/D8); ЕСЛИ(D15>4,5;332/(D15^2*(51-D15));1,47-13*D7/D8- (0,371-27,3* D7/D8)*D15+(0,0275-5,53*D7/D8)*D15^2))=0,407

при lambda<=2,5

phi=1- (lambda)^1,5*(0,073-5,53*Ry/E)

при 2,5<lambda’<=4,5

phi=1,47-13* Ry/E — (0,371-27,3*Ry/E)*lambda’+(0,0275-5,53* Ry/E) *(lambda’)^2

при lambda’>4,5

phi=332/((lambda’)^2*(51-lambda’))

и в ячейке F16: =ЕСЛИ(D15<0,4;1;0,5*((9,87*(1-F10+F11*D15)+ D15^2) — ((9,87*(1-F10+F11*D15)+D15^2)^2-39,48*D15^2)^0,5)/ D15^2)=0,379

при lambda<0,4

phi=1

при lambda>=0,4

phi=0,5*((9,87*(1- alpha+beta*lambda)+ (lambda)^2) — ((9,87*(1- alpha+beta*lambda)+ (lambda)^2) -39,48*(lambda)^2)^0,5)/ (lambda)^2

13. Критическая центральная сжимающая стержень сила N max рассчитана в ньютонах по первому, по второму и третьему алгоритмам соответственно

в ячейке D17: =ЕСЛИ(D14<100;ЕСЛИ(D14<40;D7*D5*100*D9;D7*D5* 100*D9+(ПИ()^2*D8*D5*100/(100)^2*D9-D7*D5*100*D9)*(D14-40)/ (100-40));ПИ()^2*D8*D5*100/(D14)^2*D9)=49028

при lambda<40

N max=Ry*A*gamma c

при 40<=lambda<100

N max = Ry*A*gamma c +(3,14)^2*E*A/(100)^2*gamma cRy*A*gamma c)*( lambda-40)/(100-40)

при lambda>=100

N max =(3,14)^2*E*A/(lambda)^2*gamma c

в ячейке E17: =E16*D5*100*D7*D9=35122

N max =phi*A*Ry*gamma c

и в ячейке F17: =F16*D5*100*D7*D9=32751

N max =phi*A*Ry*gamma c

В ячейках D18, E18, F18 рассчитаны, соответственно, значения критической силы N max в килограммах.

Анализ полученных результатов:

Значения, рассчитанные по трем различным методикам, существенно разнятся. Какое выбрать? Какое правильное? Я думаю, что можно перестраховавшись, принять за «правильное» минимальное значение. Так поступать следует всегда, особенно при проектировании нового серьезного объекта (тем более  что СП, регламентирующий сегодня работу проектировщика, выдает эти самые минимальные значения). Экономия на металле — вещь хорошая, но до «определенных сопроматом пределов»!

Классический сопромат на сегодня «говорит» примерно следующее (в большей мере применительно к строительным сталям):

— При гибкости стержня до 40 говорить о возможности выхода из устойчивости, как правило, не приходится. Такие стержни будут разрушаться от напряжений сжатия при достижении предела текучести у пластичных материалов и предела прочности у хрупких материалов.

— При гибкости стержня от, примерно, 40 до 100 потеря устойчивости и разрушение происходят при достижении напряжений более предела пропорциональности, но менее предела текучести или предела прочности. В этом диапазоне работает формула Ясинского, не имеющая теоретического обоснования, полученная эмпирически из опытов.

— При гибкости более 100 сжатые стержни теряют работоспособность из-за потери устойчивости своей прямолинейной формы при напряжениях меньших (иногда значительно) предела пропорциональности. В этом диапазоне четко работает теоретически обоснованная формула Эйлера.

Три графика зависимостей критических напряжений от гибкости, рассчитанные по различным алгоритмам

На представленных выше графиках показаны зависимости критических напряжений от гибкости в сжатом уголке из нашего примера.

СНИП и СП «значительно страхуются» относительно классического сопромата. И это объяснимо! И неоднородность материала, и всегда на практике существующий эксцентриситет приложения нагрузки, и существующая всегда изначальная кривизна стержня, и ряд других трудно прогнозируемых факторов требуют внимательного отношения к себе и учета в расчетах.

Чтобы быть информированными о выходе новых статей — подписывайтесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.

Надеюсь увидеть ваши комментарии к посту. Пишите, не стесняйтесь, уважаемые читатели!

Ссылка на скачивание файла: raschet-na-ustoychivost-szhatykh-sterzhney (xls 50,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

11 комментариев на «Расчет на устойчивость сжатых стержней»

  1. Александр 25 Сен 2013 13:14

    Очень полезная штука. Можно доработать. Например: добавить расчетные сопротивления для разных марок сталей в виде выпадающего списка, добавить наиболее распостраненный прокат, чтобы площадь автомат. становилась. Может быть попробовать спаренный уголок с прокладками в виде тавра, креста.

  2. Александр 25 Сен 2013 14:17

    Могу прислать небольшой примерчик если хотите.

  3. Александр 25 Сен 2013 14:26

    пришлите мне на почту свой E-mail, скину Excel файл. Посмотрите

  4. Александр Воробьев 25 Сен 2013 14:16

    Спасибо за отзыв и идею.

    Доработаю и начну продавать...

  5. Александр Воробьев 25 Сен 2013 14:23

    Высылайте!

  6. михаил 06 Окт 2014 07:46

    Добрый день! Я занимаюсь металлоконструкциями И по ходу работы сталкиваюсь с проблемами , решить которые можно только зная и понимая методику расчета нагрузок на опорные элементы конструкций Прочитав вашу статью обрадовался возможности считать самостоятельно Но вопросы все же есть Марка стали , которую вы указываете С245 , это же не содержание углерода Я в своей работе использую Ст3 и в основном трубы профильные 80×80 стенка 3 100×100 либо круглые трубы Сейчас вашему знакомому с тютчева 5 буду делать козырек на 6-7 ми метровую длину и шириной 7 метров Прочитав статью про снеговую нагрузку , она 180 кг. на м.кв. сейчас должен расчитать фермы удерживающие с определенным шагом этот нелегкий снежок и свой вес с профнастилом или поликарбонатом исходя из небольших знаний в строительстве смею предположить что сделав фермы изогнутые по радиусу метра 4 и поставив фермы с шагом около 600 мм я с задачей справлюсь Но все же экономить на материалах полагаясь на авось не хочется

  7. Александр Воробьев 06 Окт 2014 20:39

    Михаил, добрый день.

    Если вы занимаетесь металлоконструкциями и не знаете что такое сталь С245 ГОСТ 27772-88 , то это очень странно. 245 — предел текучести, а содержание углерода здесь совсем ни при чем. Посмотрите СНиП II-23-81* табл.51* и 51б (хоть он и устарел).

    Для расчета навеса (и не только) составляется расчетная схема, прикладываются ВСЕ нагрузки, рассчитываются силы, моменты, прогибы, углы поворота в узлах и сечениях стержней и затем определяются сечения элементов стержневой конструкции.

    Не очень понятно как вы обходитесь в своей работе двумя типоразмерами труб...

    Да, при учете ветровой нагрузки не забудьте, что навес может не только «провалиться», но и взлететь! 50 квадратных метров — это приличный парус.

    Удачи!

  8. Надир 22 Окт 2015 16:33

    Прошу Вас прислать Расчет на устойчивость сжатых стержней в exel

  9. Егор 05 Ноя 2015 20:28

    Скажите пожалуйста, возможно ли получить ваш файлик с разблокированными ячейками? Очень буду Вам благодарен.

  10. Александр Воробьев 06 Ноя 2015 08:46

    Егор, «Сервис» — Защита" — «Снять защиту с листа...».

    Пароля нет, ячейки я защитил от случайных ошибок пользователя, чтобы он в ячейку с формулой не написал чего-нибудь.

  11. СКЕЛЕТОР 20 Мар 2016 00:50

    Спасибо, Александр Воробьев, за труды, Ваш сравнительный расчет по трем методикам оказался полезен в обучении основам предмета.

    С уважением,

    С К Е Л Е Т О Р (forum.prostobuild.ru)

Ваш отзыв







  • Посетители: 657 649

  • Подписчики: 3 416