Движение тела, брошенного под углом к горизонту!
Опубликовано 22 Апр 2014
Рубрика: О жизни | 9 комментариев
До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team...
...за несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы!!!
Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.
Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!
В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.
Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.
Математика и физика полета баскетбольного мяча.
Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.
Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.
Исходные данные:
1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения g в м/с2
в ячейку D3: 9,81
2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем
в ячейку D4: 27,000
3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах
в ячейку D5: 1,000
4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α0 из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение
в ячейку D6: 20,000
Результаты расчетов:
Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:
x=v0*cosα0*t
y=v0*sinα0*t-g*t2/2
5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v0 в м/с
в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418
v0=(g*x2/(2*(cosα0)2*(x*tgα0-y))0,5
6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v0, из первого уравнения
в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342
t=x/(v0*cosα0)
7. Найдем угол направления скорости полета мяча αi в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:
y=x*tgα0-g*x2/(2*v02*(cosα0)2)
Это уравнение параболы – траектории полета.
Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол αi. Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:
y’=tgα0-g*x/(v02*(cosα0)2)
Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова αi в градусах
в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167
αi= arctg y’=arctg(tgα0— g*x/(v02*(cosα0)2))
Расчет в excel, в принципе, закончен.
Иные варианты расчетов:
Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.
Пусть, даны горизонтальная x=27 метров, вертикальная y=1 метр дальности полета и начальная скорость v0=25 м/с.
Требуется найти время полета t и углы вылета α0 и прилета αi
Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать здесь.
Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.
Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!
Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных!!!
Ответ на вопрос:
Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!
Ссылка на скачивание файла: dvizheniye-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu (xls 18,0KB).
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
9 комментариев на «Движение тела, брошенного под углом к горизонту!»
Ваш отзыв
Посетители: 2,1 млн
Отлично!!! Вместо книги на ночь.
Ну вот, прочитали статью «на ночь», и фильм через 4 года сняли... Молодцы! :-)
А как учесть в этой формуле массу мяча, размер мяча и сопротивление воздуха?
Никак.
Цитата из статьи:
«Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.»
С Вашими вопросами — к военным. Повысите точность в рассмотренной задаче на ~5%.
Военные самонаводящийся мячик предложат ))
Я делаю расчеты для механизма метающего мячи, а там как раз масса и важна. Мне очень понравились эти расчеты и немного смутило отсутствие массы. Но если, как вы говорите, погрешность будет в пределах 5%, к тому же у меня расстояния полета мяча не превышают 12 метров, то все супер!
Про сопротивление воздуха это я погорячился...
Да, для расчета механизма, метающего мячи, масса мяча важна!!!
О чем говорится в расчете в статье? О том, что для того, чтобы тело, запущенное под заданным углом (а0) улетело в точку (x, y), ему нужно придать начальную скорость v0!
А вот, чтобы придать телу v0 в расчете механизма масса Вам и понадобится...
В баскетболе отсчет времени начинается после того как первый игрок коснулся мяча после его ввода. Т.е. пока мяч летел секундомер не был включен. У Белова было 3 секунды по любому) А за физику спасибо)
Не знал...( Спасибо, Валерий.
Спасибо за интересные идеи и материалы!!!