Расчет стержня на изгиб с кручением

Опубликовано 11 Сен 2014
Рубрика: Механика | Комментариев нет



krutoy-izgibСовместное действие изгибающего и крутящего моментов в сечении балки, стержня, бруса, вала на практике встречается гораздо чаще, чем «чистый» изгиб и «чистое» кручение указанных элементов конструкций и машин. Часто к воздействию моментов добавляется...

...сжатие или растяжение. В итоге получаем сложно нагруженную деталь. Как рассчитать такую деталь на прочность?..

Об общем взгляде на тему прочностных расчетов, о статическом изгибе и изгибе при ударе можно прочитать в трех весьма популярных у читателей блога статьях. Для этого нужно перейти по ссылкам и посмотреть здесь, тут, и  еще вот здесь.

Чаще всего рассматриваемому виду нагружения подвержены валы, поэтому примеры решения задачи на изгиб с кручением для валов широко распространены в Сети. Реже рассматриваются примеры стержней и балок с ломаной осью. Исполняя часто роль кронштейнов, такие стержни используются повсеместно.

В статье, предлагаемой вашему вниманию, представлен пример расчета на изгиб с кручением стержня постоянного  круглого сечения с ломаной осью. Разобравшись с алгоритмом решения этой задачи и поняв суть, вы сможете решать любые подобные задачи для стержней разных форм при различных схемах нагрузок.

Изгиб с кручением стержня с ломаной осью. Расчет в Excel.

Для выполнения несложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить расчет также можно в программе Calc из свободно распространяемых пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.

Задача:

Найти диаметр сечения стержня по третьей теории прочности — теории наибольших касательных напряжений.

Исходные данные:

Имеется консольный стержень круглого сечения из стали марки Ст3, закрепленный в точке 4, согнутый на 90 градусов в разных плоскостях в точках 2 и 3 и состоящий в результате из трех прямых участков: 1-2, 2-3 и 3-4.

На стержень действуют внешние нагрузки:

В точке 1 приложена сила F=qa

Между точками 2 и 3 действует равномерно распределенная нагрузка q

В точке 3 приложен момент M=qa2

«Базовый» линейный размер a=0,4 м

Величина распределенной нагрузки q=200 Н/м

1. Так как стержень подвергается совместному воздействию изгиба и кручения, то в качестве предельно допустимого напряжения для стали Ст3 примем [σ]=0,58[σт]=145 Н/мм2 и запишем

в ячейку D3: 145

Расчетная схема к задаче и эпюры моментов, действующих в различных сечениях стержня, показаны на рисунке, расположенном ниже. (Далее мы детально рассмотрим, как эти эпюры строятся.)

Схема и эпюры к задаче на изгиб с кручением

Результаты расчетов, этап №1:

На этом этапе программа Excel нам не понадобится. Мы будем составлять уравнения моментов, действующих в различных сечениях стержня, решать их  в общем виде (без числовых значений) и строить эпюры.

Обратите внимание на то, как меняются направления осей координат в точках изгибов!

Начинаем рассмотрение схемы с точки 1, постепенно двигаясь через точки 2 и 3 к заделке 4.

1. Участок 1-2

На первый участок стержня оказывает воздействие только сила F. Сила F параллельна оси x и не создает вокруг нее момента! Сила F перпендикулярна оси y и создает вокруг нее момент! Сила F хотя и перпендикулярна оси z, но не создает вокруг нее момента потому, что линия действия силы пересекает ось z!

Mx(z1)=0

My(z1)=F*(a/2-z1)=q*a*(a/2-z1)

При z1=a/2:  My(1)=q*a*(a/2-a/2)=0

При z1=0:  My(2)=q*a*(a/2-0)=qa2/2

Mz(z1)=0

Теперь мы имеем все данные для построения эпюр моментов на первом участке стержня 1-2.

2. Участок 2-3

На второй участок оказывают воздействие сила F и распределенная нагрузка q. Сила F растягивает участок стержня 2-3 вдоль оси z и создает постоянный момент вокруг оси y равный F*a/2. Распределенная нагрузка q противодействует этому моменту. Вокруг оси z на втором участке нагрузки моментов не создают.

Mx(z2)=0



My(z2)=F*a/2+q*(a-z2)2/2=q*a*a/2-q*(a-z2)2/2

При z2=a:  My(2)=q*a*a/2-q*(a-a)2/2=qa2/2

При z2=0:  My(3)=q*a*a/2-q*(a-0)2/2=0

Mz(z2)=0

Все данные для построения эпюр моментов на втором участке стержня 2-3 получены.

3. Участок 3-4

На третий участок стержня оказывают воздействие и сила F и распределенная нагрузка q и момент M. Сила F изгибает участок стержня 3-4 вокруг оси x и создает постоянный момент вокруг оси z равный F*a/2. Распределенная нагрузка q изгибает третий участок стержня 3-4 вокруг оси y и создает постоянный момент вокруг оси z равный q*a*a/2. Момент M действует вокруг оси z в одном направлении с моментом от распределенной нагрузки q, и вместе они противодействуют моменту от силы F.

Mx(z3)=F*(az3)=q*a*(az3)

При z3=a:  Mx(3)=q*a*(a-a)=0

При z3=0:  Mx(4)=q*a*(a-0)=qa2

My(z3)=q*a*(a-z3)

При z3=a:  My(3)=q*a*(a-a)=0

При z2=0:  My(4)=q*a*(a-0)=qa2

Mz(z3)=M+q*a*a/2- F*a/2=q*a2+q*a2/2- q*a2/2=qa2

Данные для построения эпюр моментов на третьем участке стержня 3-4 получены.

Результаты расчетов, этап №2:

При проведении анализа эпюр моментов становится очевидным, что наиболее нагруженным сечением стержня, подверженного изгибу с кручением, является сечение в точке 4. В этой точке действуют максимальные моменты вокруг каждой из трех осей!

Вычислим вручную значения моментов в опасном сечении и запишем в соответствующие ячейки листа программы – продолжим ввод исходных данных в расчет в Excel.

2. Изгибающий момент Mx=Mx(4)=qa2=200*0,42=32,000 в  Н*м запишем

в ячейку D4: 32,000

3. Изгибающий момент My=My(4)=qa2=200*0,42=32,000 в  Н*м впишем

в ячейку D5: 32,000

4. Крутящий момент Mz=Mz(4)=qa2=200*0,42=32,000 в  Н*м занесем

в ячейку D6: 32,000

Расчет в Excel круглого стержня на изгиб с кручением

5. Эквивалентный момент Mэ в Н*м по третьей теории прочности вычислим

в ячейке D8: =(D6^2+D7^2+D8^2)^0,5=55,426

Mэ=(Mx2+My2+Mz2)0,5

6. Расчет диаметра сечения круглого стержня d в мм выполним

в ячейке D9: =(32*D10*1000/ПИ()/D5)^(1/3)=15,732

d≥((32*Mэ)/(π*[σ]))(1/3)

Расчет в Excel завершен, мы решили задачу расчета стержня на изгиб с кручением – определили размеры сечения круглого стержня по третьей теории прочности.

Замечание.

В конце статьи хочу обратить ваше внимание на один очень важный момент. Формула для определения диаметра стержня несколькими строками выше была получена из следующих зависимостей:

Mэ=(Mx2+My2+Mz2)0,5

Mэ/W0-0[σ]

W0-0=π*d3/32

Здесь W0-0 – это осевой момент сопротивления сечения стержня относительно нейтральной оси! А нейтральная ось – это ось, вокруг которой происходит реальный изгиб, то есть линия, на которой нормальные напряжения равны нулю и меняют свой знак.

Угол наклона нейтральной оси 0-0 к оси x  можно вычислить по формуле:

α=arctg(My/Mx) (В нашем примере: α=45°)

Но, внимание!

Вышеприведенные формулы справедливы лишь для стержней круглого сечения!

Расчет стержней с иными формами сечения – прямоугольником, квадратом, уголком, швеллером выполняется по такому же алгоритму, но по другим конечным формулам!

Однако, это, возможно, тема будущей статьи...

Надеюсь, мое повествование было внятным и не слишком для вас утомительным.

Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ предлагаю вам подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.

Уважаемые читатели, просьба вопросы, отзывы, и замечания оставлять в комментариях внизу страницы.

Ссылка на скачивание файла: raschet-sterzhnya-na-izgib-s-krucheniyem (xls 31,5KB).

Другие статьи автора блога

На главную


Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Ваш отзыв







  • Посетители: 657 649

  • Подписчики: 3 416